Внесение под знак корня
В данной публикации мы рассмотрим, как число (множитель) или букву внести под знак квадратного и более старших степеней корня. Информация сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.
Содержание скрыть
- Правило внесения под знак корня
- Квадратный корень
- Корень n-ой степени
- Отрицательное число/множитель
Правило внесения под знак корня
Квадратный корень
Чтобы внести число (множитель) под знак квадратного корня, его следует возвести во вторую степень (другими словами, в квадрат), затем полученный результат написать под знаком корня.
Пример 1: внесем число 7 под квадратный корень.
Решение:
1. Для начала возведем заданное число в квадрат: .
2. Теперь просто записываем рассчитанное число под корнем, т.е. получаем √ 49 .Коротко внесение под знак корня можно записать так:
Примечание: Если речь идет про множитель, его мы умножаем на уже имеющееся подкоренное выражение.
Пример 2: представим произведение 3√ 5 полностью под корнем второй степени.
Корень n-ой степени
Чтобы внести число (множитель) под знак кубического и более старших степеней корня, мы возводим это число в заданную ступень, затем переносим результат в подкоренное выражение.
Пример 3: внесем число 6 под кубический корень.
Пример 4: представим произведение 2 5 √ 3 под корнем 5-ой степени.
Отрицательное число/множитель
При внесении отрицательного числа/множителя под корень (неважно какой степени), знак “минус” обязательно остается перед знаком корня.
Пример 5
Внесение под корень буквы
Чтобы внести букву под знак корня, поступаем так же, как и с числами (в т.ч. с отрицательными) – возводим эту букву в соответствующую степень, после чего добавляем в подкоренное выражение.
Пример 6
Это справедливо при , если же p – отрицательное число, то перед знаком корня необходимо добавить знак “минус”.
Пример 7
Рассмотрим более сложный случай: .1. Сперва внесем выражение в скобках под знак корня.
2. Теперь согласно формуле сокращенного умножения возведем выражение в квадрат.
Примечание: первый и второй шаг можно поменять местами.
3. Остается только выполнить умножение под корнем с раскрытием скобок.
Внесение множителя под знак корня: правила, примеры, решения
В этой статье мы продолжим говорить о том, как преобразовывать иррациональные выражения, а конкретно о том, как внести множитель под знак корня. Сначала поясним, в чем состоит смысл такого преобразования, приведем теоретические обоснования и сформулируем основные правила, после чего проиллюстрируем их на примерах решений задач.
Понятие внесения множителя под знак корня
Начнем с определения этого преобразования.
Внесение множителя под знак корня представляет собой преобразование произведения B · C n , где B и C являются числами или выражениями, а n – натуральным числом, в тождественно равное выражение B n · C n или — B n · C n .
Первое знакомство с этим видом преобразования, как правило, происходит сразу после изучения понятия квадратного корня и его свойств в рамках школьного курса алгебры. При этом определение берется только для n , равного 2 , то есть для выражений с квадратным корнем. Позже, когда начинают изучаться корни n -ной степени, разбираются и случаи с более сложными выражениями.
Учитывая все сказанное выше, легко понять, почему данное преобразование называется именно так: в его результате множитель B перемещается под знак корня. Также очевидно, что изменить таким образом можно не любые выражения, а только конкретные произведения некоторых чисел (выражений) и корней, под знаками которых также расположено некоторое число или выражение. В качестве примера можно привести 5 · 3 , — 0 , 7 · x + 2 · y 3 , x — 2 · 1 — x 4 и т.д.
В результате мы должны прийти к выражению вполне определенного вида. Так, указанные выше примеры после преобразования будут выглядеть так: 5 2 · 3 , — 0 , 7 3 · x + 2 · y 3 , — x — 2 4 · 1 — x 4 . Возможно и дальнейшее упрощение этих выражений, если такая необходимость есть.
После того, как мы определились, что из себя представляет внесение множителя под знак корня, можно перейти к теоретическим обоснованиям преобразования. В следующем пункте мы объясним, когда — B n · C n следует заменять на B n · C n , а когда B n · C n на — B n · C n .
Теоретические основы внесения множителя под корень
Ранее, когда мы объясняли, как можно изменить иррациональные выражения, применяя основные свойства корня, у нас получился ряд важных результатов. Здесь нам потребуются два из них:
- Выражение A можно заменить на A n n в случае нечетного n . Если же n является четным числом, то возможна замена на A n n для всех значений переменных, которые принадлежат области допустимых значений для данного выражения и при которых A не будет отрицательным (это условие можно записать как A ≥ 0 ). То есть если n – нечетное число, то A = A n n , A ≥ 0 , — A n n , A < 0 .
- Выражение A n · B n заменяется на A · B n при условии, что n – натуральное число.
Воспользовавшись этими правилами, мы можем внести множитель под знак радикала (корня) после следующих преобразований:
- при нечетном n – B · C n = B n n · C n = B n · C n
- при четном n – B · C n = B n n · C n = B n · C n , B ≥ 0 , — B n n · C n = — B n · C n , B < 0
Допустим, B представляет из себя число, большее 0 , либо выражение, которое будет неотрицательным при любых значениях переменных из области допустимых значений. Тогда B · C n = B n n · C n = B n · C n . А если B будет отрицательным числом или его значения не будут положительны при любых переменных, то B · C n = — B n n · C n = — B n · C n .
В следующем пункте мы сформулируем эти положения в виде правил, которые будем в дальнейшем применять для решения задач.
Основные правила внесения множителя под знак радикала
Выше мы уже рассказывали, что действия, которые нужно предпринять для внесения множителя под корень, будут зависеть от значения показателя n, точнее от того, четный он или нечетный, а также от вида самого выражения. Запишем несколько правил для всех возможных случаев.
Если показателем корня является нечетное число, то необходимые преобразования будут выглядеть следующим образом: B · C n = B n n · C n = B n · C n .
Определение 4
Если показателем корня является четное число, а B является некоторым выражением с неотрицательным значением ( x 2 , 5 · x 4 + 3 · y 2 · z 2 + 7 и др.) или же просто положительным числом, то нам нужно действовать так: B · C n = B n n · C n = B n · C n .
Определение 5
Если показателем корня будет четное число, но B при этом будет числом, меньшим 0 , или выражением с неположительными значениями (к примеру, − 2 · x 2 , − ( x 2 + y 2 + 1 ) и т.п.), то вносить множитель под корень нужно так: B · C n = — B n n · C n = — B n · C n .
Определение 6
Если показатель корня четный, однако по выражению B невозможно сразу сказать, какие значения оно примет на области допустимых значений, нам нужно:
- решить неравенства B ≥ 0 и B < 0 на области допустимых значений исходного выражения;
- получив некоторые множества решений, выполнить на первом из них преобразование B · C n = B n n · C n = B n · C n , а на втором B · C n = — B n n · C n = — B n · C n .
Теперь посмотрим, как правильно применять эти положения на практике.
Решения задач на внесение множителя под корень
Для начала рассмотрим наиболее простой случай с нечетным показателем корня.
Условие: преобразуйте выражения 2 · 3 5 , — 0 , 25 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 и x — 1 · x + 1 x — 1 6 7 , внеся множитель под знак корня.
Решение
Во всех трех выражениях корни имеют нечетные показатели. Тогда мы можем представить вносимые множители в виде корней и перейти от произведения корней к корню произведения. Подсчитаем каждый пример отдельно.
- 2 · 3 5 = 2 5 5 · 3 5 = 2 5 · 3 5 . Результат можно еще упростить, выполнив нужные действия под корнем: 2 5 · 3 5 = 32 · 3 5 = 96 5 .
- Здесь сначала нужно преобразовать десятичную дробь в обыкновенную, чтобы упростить дальнейшие вычисления. После этого вносим множитель под знак корня и получаем: — 0 , 25 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = — 1 4 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = — 1 4 3 3 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = — 1 4 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = = 6 · x · y — 1 3 · y 2 3 = 6 · x · y — 2 · y 2 3
- Здесь выполняем преобразования сразу:
x — 1 · x + 1 x — 1 6 7 = ( x — 1 ) 7 7 · x + 1 ( x — 1 ) 6 7 = = ( x — 1 ) 7 · x + 1 x — 1 6 7
Полученному выражению можно придать еще более простой вид, преобразовав рациональное выражение под корнем, которое получилось после внесения множителя. Сделаем это:
x — 1 7 · x + 1 x — 1 6 7 = x — 1 7 · x + 1 ( x — 1 ) 6 7 = = ( x — 1 ) · x + 1 7 = x 2 — 1 7
Ответ: 2 · 3 5 = 96 5 , — 0 , 25 · — 384 · x · y — 1 3 · y 2 3 = 6 · x · y — 2 · y 2 3 , x — 1 · x + 1 x — 1 6 7 = x 2 — 1 7
Далее переходим к задачам, в которых нужно преобразовать корень с четным показателем.
Условие: внесите множитель под знак радикала в выражениях 5 · 3 , 1 2 · 16 · q 4 — q 4 и x 2 + 1 · 1 x · ( x 2 + 1 ) , а потом по возможности упростите выражения.
Решение
Первое выражение мы уже приводили в качестве примера в первом пункте. Проверим получившийся результат 5 2 · 3 . Поскольку здесь у нас квадратный корень, а множитель перед ним является положительным числом, то нам нужно выполнить следующие действия: 5 · 3 = 5 2 · 3 = 5 2 · 3 . Все, что нам осталось, – это упростить полученный результат: 5 2 · 3 = 75 .
Во втором случае показатель корня является четным числом, а вносимое число больше 0 , значит, сразу переходим к преобразованиям:
1 2 · 16 · q 4 — q 4 = 1 2 4 4 · 16 · q 4 — q 4 = = 1 2 4 · 16 · q 4 — q 4 = q 4 — q 4 = 0
В третьем случае очевидно, что x 2 + 1 будет принимать значения больше 0 при любых значениях переменной x (поскольку при сложении неотрицательной при любом значении переменной выражения x 2 и единицы мы получим положительное число), значит:
x 2 + 1 · 1 x · x 2 + 1 = x 2 + 1 2 · 1 x · x 2 + 1 = = x 2 + 1 2 · 1 x · x 2 + 1 = ( x 2 + 1 ) 2 x · x 2 + 1 = x 2 + 1 x
Ответ: 5 · 3 = 75 , 1 2 · 16 · q 4 — q 4 = 0 , x 2 + 1 · 1 x · x 2 + 1 = x 2 + 1 x .
Условие: преобразуйте выражения — 10 2 · ( 0 , 1 ) 7 · a 4 и 2 · — 3 — y 2 · x , внеся множитель под знак корня.
Решение
Первое выражение имеет четный показатель корня и отрицательный множитель, который надо внести. Значит, для решения нам надо использовать третье правило, сформулированное в предыдущем пункте:
— 10 2 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 2 4 4 · 0 , 1 7 · a 4 = = — 10 2 4 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 8 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 · a 4
Во втором выражении показатель корня тоже является четным числом. Выражение 2 · ( − 3 − y 2 ) будет отрицательно при любом y , поскольку произведение положительного и отрицательного числа есть число также отрицательное. Значит, можно записать следующее:
2 · — 3 — y 2 · x = — 2 · — 3 — y 2 2 · x = = — 2 · — 3 — y 2 2 · x = — 2 2 · — 3 — y 2 2 · x = = — 4 · y 4 + 6 · y 2 + 9 · x = — 4 · x · y 4 + 24 · x · y 2 + 36 · x
Ответ: — 10 2 · 0 , 1 7 · a 4 = — 10 · a 4 , 2 · — 3 — y 2 · x = — 4 · x · y 4 + 24 · x · y 2 + 36 · x .
Еще один случай, который нам надо разобрать, – работа с четным показателем корня и переменными, способными принимать произвольные значения. Вообще такие преобразования лежат за пределами школьного курса алгебры, поскольку они относятся к задачам повышенной сложности, однако мы все же решим одну такую задачу.
Условие: даны выражения x — 2 · 1 — x 4 и x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 . Выполните внесение множителя под знак корня.
Решение
Первое выражение мы уже приводили в качестве примера в первом пункте. Проверим получившийся результат и поясним ход преобразования. Поскольку в x — 2 · 1 — x 4 есть четный показатель корня ( 4 ) , а выражение x − 2 может принять разные значения (больше 0 , меньше 0 , равные 0 ), то нам придется использовать последнее правило из предыдущего пункта. Область допустимых значений x будет определена условием 1 − x ≥ 0 . Как мы узнаем, когда переменная примет положительное, а когда отрицательное значение? Для этого нам надо составить и решить две системы неравенств: x — 2 ≥ 0 1 — x ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 x ≤ 1 ⇔ ∅ и x — 2 < 0 1 - x ≥ 0 ⇔ x < 2 x ≥ 1 ⇔ x ≤ 1 .
Решений у первой системы нет. Значит, наше выражение x − 2 не может быть положительным ни при каких значениях переменной. А вот вторая система имеет решение в виде множества x ≤ 1 , совпадающее с областью допустимых значений. Поэтому можно записать следующее:
x — 2 · 1 — x 4 = — x — 2 4 4 · 1 — x 4 = = — ( x — 2 ) 4 · 1 — x 4
Во втором выражении x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 имеется четный показатель корня, а выражение x + 6 x — 4 на первый взгляд может принимать любые значения. Выясним, когда они будут положительными, а когда отрицательными. Как и в примере выше, составим и решим две системы неравенств: x + 6 x — 4 ≥ 0 x 2 + x — 2 ≥ 0 и x + 6 x — 4 < 0 x 2 + x - 2 ≥ 0 .
Первую систему можно решить, используя метод интервалов, а вторую – любым способом решения квадратных неравенств.
x + 6 x — 4 ≥ 0 x 2 + x — 2 ≥ 0 ⇔ ( — ∞ , — 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) ( — ∞ , — 2 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) ⇔ ⇔ ( — ∞ , — 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) x + 6 x — 4 < 0 x 2 + x - 2 ≥ 0 ⇔ ( - 6 , 4 ) ( - ∞ , - 2 ] ∪ [ 1 , + ∞ ) ⇔ ⇔ ( - 6 , - 2 ] ∪ [ 1 , 4 )
Следовательно, значение выражения x + 6 x — 4 будет неотрицательным при x ∈ ( − ∞ , − 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) , и x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 = x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 = = x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2
А отрицательным значение будет при x ∈ ( − 6 , − 2 ] ∪ [ 1 , 4 ) , и x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 = — x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 = = — x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2
Выражение, которое получилось в итоге, может быть приведено к виду рациональной дроби.
Ответ: x — 2 · 1 — x 4 = — ( x — 2 ) 4 · 1 — x 4 и
x + 6 x — 4 · x 2 + x — 2 = = x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 , x ∈ ( — ∞ , — 6 ] ∪ [ 4 , + ∞ ) — x + 6 x — 4 2 · x 2 + x — 2 , x ∈ ( — 6 , — 2 ] ∪ [ 1 , 4 )
В заключении отметим, что вносить число под знак корня часто требуется в случаях, когда нужно сравнить значения выражений с корнями. Также советуем вам прочесть материал, посвященный противоположному преобразованию – вынесению множителя из-под корня.
Как внести под знак корня
Внести множитель под знак квадратного корня — значит возвести множитель во вторую степень (в «квадрат») и поместить его под знак корня.
При внесении множитель умножается на подкоренное выражение.
7 √ 2 = √ 7 2 · √ 2 = √ 7 2 · 2 =
Рассмотрим на различных примерах, как вносить множитель под корень.
Разбор примера
Внесите множитель под знак корня:
Возводим « 3 » во вторую степень и вносим под знак корня: « √ 3 2 ».
Важно!
Обязательно выучите таблицу квадратов чисел от « 1 » до « 15 » и таблицу часто используемых квадратных корней.
Замена « 3 = √ 3 2 » возможна, так как извлечение квадратного корня и возведение в квадрат — это взаимно обратные друг другу действия.
3 · √ 13 = √ 3 2 · √ 13 = …
3 √ 13 = √ 3 2 · √ 13 = √ 3 2 · 13 =
Кратко внесение множителя под знак корня записывают следующим образом:
3 √ 13 = √ 3 2 · 13 = √ 9 · 13 = √ 108
Говорят: «Множитель « 3 » внесли под знак корня, получив « 9 ».
Примеры внесения множителя под знак корня
Разбор примера
Внести множитель под знак корня:
· √ 28 ;
Заменим « 2 » и «
» их квадратами под знаком квадратного корня.
2 ·
= …
Умножим « 4 » на дробь «
» по правилу умножения дроби на число.4 2 · 1 2 1 Возведем в квадрат дробь « (
) 2 » по правилу возведения дроби в квадрат.
2 ·4 2 · 1 2 1 1 · 28 7 4 1 Внесение отрицательного множителя под корень
Запомните!
При внесении отрицательного числа под знак квадратного корня минус всегда остается перед знаком корня.
Запомните правило: «При внесении отрицательного множителя> под знак квадратного корня минус всегда « остается за бортом! ».
Разбор примера
Внесите множитель под знак корня:
Прежде чем вносить число « 10 » под знак корня, отдельно запишем знак минуса « − » как умножение на « −1 ».
− 10 √ 14 = (−1) · 10 √ 14 = …
Теперь внесем только положительное число « 10 » под знак корня, возведя его в квадрат. Знак минуса оставляем перед квадратным корнем.
− 10 √ 14 = (−1) · 10 √ 14 =
= (−1) · √ 10 2 · 14 =
= (−1) · √ 100 · 14 =
= (−1) · √ 1400 = …Обычно умножение на « (−1) » заменяют знаком минуса впереди, так как смысл от этого не меняется.
− 10 √ 14 = (−1) · 10 √ 14 =
= (−1) · √ 10 2 · 14 =
= (−1) · √ 100 · 14 =
= (−1) · √ 1400 =Кратко решение примера записывают следующим образом:
−10 √ 14 = − √ 10 2 · 14 =
= − √ 100 · 14 = − √ 1400Разбор примера
Внесите множитель под знак корня:
При внесении отрицательных дробей под знак корня, знак минуса также остается перед квадратным корнем.
Как вводить данные? Правила ввода
Ввод данных, наверное, это самое главное, что необходимо усвоить при работе с математическими калькуляторами по решению задач. Не важно какие сервисы вы используете, будь то сайт, десктопная программа или мобильное приложение, ведь именно с корректного ввода данных начинается постановка задачи для вычислительной системы.
Как правило у каждого подобного сервиса свой синтаксис. Но какими бы ни были современные математические калькуляторы (программы), в любом случае все они базируются на принципах обработки, которые появились еще в прошлом веке. Отличаются лишь методы обработки (парсинг математических выражений), но математические формулы от этого, разумеется, не меняются.
Стоит отметить, что калькуляторы на Math24.biz куда более «умнее», или, иными словами, менее требовательны, чем ряд других аналогичных калькуляторов на просторах интернета.
Итак, начнем. Самые элементарные правила как вводить данные касаются записи чисел и скобок.
Скобки используются круглые. Но даже если вы введете [, ], или >, то они преобразуются в соответствующие круглые. Кстати, это небольшое наше преимущество в отличие от других калькуляторов.
Что касается натуральных или дробных чисел, то тут все очевидно — «Как вижу, так и пишу!».
Обратим внимание на записи десятичных чисел и некоторых математических констант. В десятичной записи числа необходимо использовать точку, а не запятую.
Примеры ввода десятичных чисел
1.78, 87.001, 0.99 и так далее.
Такое правило ввода данных оправдывается тем, что запятая используется в функциях, например, логарифмических, в которых разделены через запятую основание логарифма и число, от которого берется логарифм. И таких функций множество, включая функции нескольких переменных.
Примеры обозначений математических констант
pi — Число Пи
e — Экспонента (основание натурального логарифма)
i — Мнимая единица, i 2 = -1Корень квадратный от числа записывается как sqr или sqrt.
Примеры записи квадратного корня
sqrt(2) — корень квадратный из числа 2
sqrt(3/4) — корень квадратный из дробного числа ¾Наверняка многие сейчас подумали, что квадратный корень из 2 можно записать как 2^(1/2) или 2^(0.5). Но в данном случае мы хотим лишь сказать, что sqrt есть обозначение квадратного корня, которое используется во многих программах.
Примите это на заметку, если ранее не встречались с этим обозначением!
Далее быстро пройдемся по математическим операциям и правилам их ввода, потому что здесь всё проще-простого.
+ Операция сложения (суммирование)
− Операция вычитания (разность)
* Операция умноженияКстати, если два множителя записать через пробел, то калькулятор воспримет это за знак умножения. Например, x y равносильно x*y
/ Операция деления
^ Возведение в степеньЧуть сложнее для визуального восприятия, но никак не для понимания, это правило записи дробных выражений. Как вводить данные от таких выражений мы покажем на примерах с применением различных цветов.
Это позволит лучше и быстрее освоить необходимые навыки юным ученикам. Хотя, поверьте нам, старшеклассники и студенты очень часто сталкиваются с проблемой ввода сложных формул.
Примеры ввода дробных выражений
Для лучшего визуального восприятия мы специально добавили пробелы, чтобы выделить отдельные операции.
( x^2 — 1 ) / ( x^2 + 1 )
( Sin(x) * Cos(y) ) / ( x^5 — y + 7 )
( (z-1) (t+1) ) / ( (x-1) / (y+1) )
Как вы могли заметить, одним из базовых правил при вводе данных является использование букв только латинского алфавита!
Ниже перечислим наиболее часто встречающиеся функции при изучении школьной математики и математических дисциплин начальных курсов ВУЗов и других учебных заведений.