Как вычислить число фибоначчи

Глава 9. Числа Фибоначчи

Требуется написать программу, вычисляющую и выводящую на экран число Фибоначчи с заданным номером в последовательности. Номер передаётся в программу через командную строку:

% ./fibonacci.pl 6 8 % ./fibonacci.pl 11 89

Готовая программа

Идеи реализации

Как вычислить число фибоначчи

Последовательность чисел Фибоначчи определяется формулой F_n = F_n-1 + F_n-2 . То есть, следующее число получается как сумма двух предыдущих.

Первые два числа равны 1 , затем 2(1+1) , затем 3(1+2) , 5(2+3) и так далее: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21. .

Числа Фибоначчи тесно связаны с золотым сечением и множеством природных явлений вокруг нас.

Напишите функцию fib(n) которая возвращает n-е число Фибоначчи.

function fib(n) < /* ваш код */ >alert(fib(3)); // 2 alert(fib(7)); // 13 alert(fib(77)); // 5527939700884757

P.S. Все запуски функций из примера выше должны работать быстро. Вызов fib(77) должен занимать не более доли секунды.

Сначала решим через рекурсию.

Числа Фибоначчи рекурсивны по определению:

function fib(n) < return n alert( fib(3) ); // 2 alert( fib(7) ); // 13 // fib(77); // вычисляется очень долго

При больших значениях n такое решение будет работать очень долго. Например, fib(77) может повесить браузер на некоторое время, съев все ресурсы процессора.

Это потому, что функция порождает обширное дерево вложенных вызовов. При этом ряд значений вычисляется много раз снова и снова.

Например, посмотрим на отрывок вычислений для fib(5) :

. fib(5) = fib(4) + fib(3) fib(4) = fib(3) + fib(2) . 

Здесь видно, что значение fib(3) нужно одновременно и для fib(5) и для fib(4) . В коде оно будет вычислено два раза, совершенно независимо.

Полное дерево рекурсии:

Можно заметить, что fib(3) вычисляется дважды, а fib(2) – трижды. Общее количество вычислений растёт намного быстрее, чем n , что делает его огромным даже для n=77 .

Можно это оптимизировать, запоминая уже вычисленные значения: если значение, скажем, fib(3) вычислено однажды, затем мы просто переиспользуем это значение для последующих вычислений.

Другим вариантом было бы отказаться от рекурсии и использовать совершенно другой алгоритм на основе цикла.

Вместо того, чтобы начинать с n и вычислять необходимые предыдущие значения, можно написать цикл, который начнёт с 1 и 2 , затем из них получит fib(3) как их сумму, затем fib(4) как сумму предыдущих значений, затем fib(5) и так далее, до финального результата. На каждом шаге нам нужно помнить только значения двух предыдущих чисел последовательности.

Вот детальные шаги нового алгоритма.

// a = fib(1), b = fib(2), эти значения по определению равны 1 let a = 1, b = 1; // получим c = fib(3) как их сумму let c = a + b; /* теперь у нас есть fib(1), fib(2), fib(3) a b c 1, 1, 2 */

Теперь мы хотим получить fib(4) = fib(2) + fib(3) .

Переставим переменные: a,b , присвоим значения fib(2),fib(3) , тогда c можно получить как их сумму:

a = b; // теперь a = fib(2) b = c; // теперь b = fib(3) c = a + b; // c = fib(4) /* имеем последовательность: a b c 1, 1, 2, 3 */

Следующий шаг даёт новое число последовательности:

a = b; // now a = fib(3) b = c; // now b = fib(4) c = a + b; // c = fib(5) /* последовательность теперь (на одно число больше): a b c 1, 1, 2, 3, 5 */

…И так далее, пока не получим искомое значение. Это намного быстрее рекурсии и не требует повторных вычислений.

function fib(n) < let a = 1; let b = 1; for (let i = 3; i return b; > alert( fib(3) ); // 2 alert( fib(7) ); // 13 alert( fib(77) ); // 5527939700884757

Цикл начинается с i=3 , потому что первое и второе значения последовательности заданы a=1 , b=1 .

Числа Фибоначчи: циклом и рекурсией

Числа Фибоначчи – это ряд чисел, в котором каждое следующее число равно сумме двух предыдущих.

Иногда ряд начинают с нуля.

В данном случае мы будем придерживаться первого варианта.

Вычисление n-го числа ряда Фибоначчи с помощью цикла while

Присвоим переменным fib1 и fib2 значения двух первых элементов ряда, то есть единицы.

Получим от пользователя номер элемента, значение которого требуется вычислить. Присвоим номер элемента переменной n .

Поскольку значения первых двух элементов ряда Фибоначчи нам уже известны и вычисления начинаем с третьего, количество проходов по телу цикла должно быть на 2 меньше значения n , то есть n - 2 .

Если пользователь вводит 1 или 2, тело цикла ни разу не выполняется, на экран выводится исходное значение fib2 .

1. Сложить fib1 и fib2 , присвоив результат переменной для временного хранения данных, например, fib_sum .
2. Переменной fib1 присвоить значение fib2 .
3. Переменной fib2 присвоить значение fib_sum .

После окончания работы цикла вывести значение fib2 на экран.

fib1 = 1 fib2 = 1 n = input("Номер элемента ряда Фибоначчи: ") n = int(n) i = 0 while i  n - 2: fib_sum = fib1 + fib2 fib1 = fib2 fib2 = fib_sum i = i + 1 print("Значение этого элемента:", fib2)

Пример выполнения программы:

Номер элемента ряда Фибоначчи: 10 Значение этого элемента: 55

Компактный вариант кода:

fib1 = fib2 = 1 n = input("Номер элемента ряда Фибоначчи: ") n = int(n) - 2 while n > 0: fib1, fib2 = fib2, fib1 + fib2 n -= 1 print("Значение этого элемента:", fib2)

Вывод ряда чисел Фибоначчи с помощью цикла for

В данном случае выводится не только значение искомого элемента ряда Фибоначчи, но и все числа до него включительно. Для этого вывод значения fib2 помещен в цикл.

fib1 = fib2 = 1 n = int(input()) print(fib1, fib2, end=' ') for i in range(2, n): fib1, fib2 = fib2, fib1 + fib2 print(fib2, end=' ') 

10 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Рекурсивное вычисление n-го числа ряда Фибоначчи

1. Если n = 1 или n = 2, вернуть в вызывающую ветку единицу, так как первый и второй элементы ряда Фибоначчи равны единице.
2. Во всех остальных случаях вызвать эту же функцию с аргументами n - 1 и n - 2. Результат двух вызовов сложить и вернуть в вызывающую ветку программы.

def fibonacci(n): if n in (1, 2): return 1 return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2) print(fibonacci(10))

Допустим, n = 4. Тогда произойдет рекурсивный вызов fibonacci(3) и fibonacci(2). Второй вернет единицу, а первый приведет к еще двум вызовам функции: fibonacci(2) и fibonacci(1). Оба вызова вернут единицу, в сумме будет два. Таким образом, вызов fibonacci(3) возвращает число 2, которое суммируется с числом 1 от вызова fibonacci(2). Результат 3 возвращается в основную ветку программы. Четвертый элемент ряда Фибоначчи равен трем: 1 1 2 3.

X Скрыть Наверх

Решение задач на Python

Как вычислить число фибоначчи

Числа Фибоначчи – это одна из самых известных последовательностей в математике. Они получаются путем сложения двух предыдущих цифр: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, и так далее. Несмотря на то, что этот ряд прост в своей форме, его свойства и связи с другими областями математики продолжают привлекать внимание ученых и любителей математики по всему миру.

Как вычислить последовательность Фибоначчи?

Теория Фибоначчи имеет много интересных свойств и применений, от графиков до финансовой аналитики. Но одним из самых основных и фундаментальных свойств этой закономерности является то, что она может быть использована для построения золотого сечения – пропорции, которая считается идеальной и гармоничной в геометрии и искусстве.

Самый простой способ найти число Фибоначчи по формуле:

Например, первые несколько цифр можно вычислить по следующей формуле:

Таким образом, третье равно сумме первых двух, то есть:

F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

Четвертое равно сумме второго и третьего:

F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

Также существуют более сложные алгоритмы Фибоначчи для нахождения n-го элемента, такие как формула Бине, которая использует золотое сечение, но этот способ неэффективен, так как требует вычисления больших и сложных математических операций.

Однако формула F(n) = F(n-1) + F(n-2) является самой простой и широко используется для вычисления в программировании и других областях.

Вычисление с помощью цикла

Более эффективный способ нахождения последовательности Фибоначчи – это использование цикла.

Цикл – это управляющая структура в программировании, которая позволяет повторять блок кода несколько раз, пока выполняется определенное условие. Использование такого метода для вычисления ряда Фибоначчи позволяет нам оптимизировать нахождение и значительно сократить количество операций.

Один из примеров использования выглядит следующим образом:

В этом примере мы начинаем с двух переменных: a и b, которые соответствуют первым двум цифрам. Затем мы используем условный оператор if для проверки, является ли введенное n равным 0 или 1.

Если это так, мы возвращаем соответствующее значение. Если же n больше 1, мы начинаем for, который выполняется n-2 раз, так как первые два уже заданы.

Внутри программы мы вычисляем новое, сложив предыдущие два (a и b) и присваиваем результат переменной c. Затем мы обновляем значения переменных a и b так, чтобы b было равно c, а a было равно предыдущему b.

Когда программа завершается, мы возвращаем b, которая соответствует введенному n.

Одним из преимуществ использования этого способа является то, что мы можем легко находить любую цифру в ряду, а не только первые несколько.

Например, чтобы найти девятое число Фибоначчи, мы просто вызываем функцию fibonacci(9) и получаем ответ без необходимости вычислять все предыдущие вручную.

Кроме того, использование программы может значительно ускорить вычисления по сравнению с другими методами, особенно для больших значений n. Например, если мы попытаемся вычислить 1000-е значение с помощью рекурсии, мы можем столкнуться с проблемой "слишком глубокой рекурсии", которая может привести к переполнению стека и краху. В то время как использование циклической программы позволяет избежать этой проблемы и найти искомое за доли секунды.

Также существуют многие другие интересные свойства и теории.

Например, если мы построим график Фибоначчи, мы увидим, что он имеет характерную форму золотой спирали. Эта спираль соответствует отношению: каждый следующий член является суммой двух предыдущих, и чем больше, тем ближе отношение двух соседних к золотому сечению, т.е. приблизительно 1,618.

В каких процессах в разработке используется?

• Веб-разработка: создание эффектов и макетов на веб-страницах и других платформах.
• Машинное обучение: в алгоритмах машинного обучения, таких как алгоритмы временных рядов для предсказания будущих значений, основываясь на прошлых.
• Криптография: используются в криптографии для создания ключей шифрования.
• Анализ данных: для анализа временных рядов, таких как биржевые котировки, для выявления трендов и паттернов в данных.
• Анализ сложности алгоритмов: задачи на выявление сложности различных алгоритмов и структур данных. Например, в алгоритмах динамического программирования.
• Разработка игр: создание анимационных эффектов и спецэффектов в играх и в других продуктах.

В заключение, цифры Фибоначчи - это не только интересная математическая конструкция, но и широко применяемый алгоритм во многих областях, включая компьютерную науку и финансовые рынки. Циклы и формулы помогают находить значения, а свойства, такие как золотое сечение, представляют математическую основу для создания красивых и функциональных объектов в нашем мире.

Веб-услуги и разработка в YuSMP Group - ваш лучший выбор для реализации любого IT проекта. Проекты, которые мы создали, показывают высокие результаты доходов владельцев и являются примерами использования современных технологий. Свяжитесь с нами любым удобным способом, чтобы получить бесплатную консультацию от ведущих экспертом компании.