Как находить десятичные дроби

2. Таблица разрядов

Десятичная дробь, как и любое число, состоит из цифр ( \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\), \(9\) ).

Место каждой цифры в числе важно: оно определяет разряд числа.

Десятичная дробь состоит из целой части (все цифры до запятой) и дробной части (все цифры после запятой).

Целую часть десятичной дроби можно разбить на разряды так же, как и натуральные числа: единицы, десятки, сотни, тысячи и т. д.

Дробную часть десятичной дроби разбивают на разряды так:

десятые (в знаменателе обыкновенной дроби \(10\)), сотые (в знаменателе обыкновенной дроби \(100\)), тысячные (в знаменателе обыкновенной дроби \(1000\)) и т. д.

Таблица разрядов

Тысячи

Сотни

Десятки

Единицы ,

Десятые

Сотые

Тысячные

Десятитысячные

Таблицу разрядов можно дополнить любым нужным количеством столбцов.

\(1\)-й разряд после запятой — разряд десятых,
\(2\)-й разряд после запятой — разряд сотых,
\(3\)-й разряд после запятой — разряд тысячных,
\(4\) -й разряд после запятой — разряд десятитысячных,
\(5\)-й разряд после запятой — разряд стотысячных,
\(6\)-й разряд после запятой — разряд миллионных,
\(7\)-й разряд после запятой — разряд десятимиллионных,
\(8\)-й разряд после запятой — разряд стомиллионных.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Вот, казалось бы, перевод десятичной дроби в обычную — элементарная тема, но многие ученики её не понимают! Поэтому сегодня мы подробно рассмотрим сразу несколько алгоритмов, с помощью которых вы разберётесь с любыми дробями буквально за секунду.

Напомню, что существует как минимум две формы записи одной и той же дроби: обыкновенная и десятичная. Десятичные дроби — это всевозможные конструкции вида 0,75; 1,33; и даже −7,41. А вот примеры обыкновенных дробей, которые выражают те же самые числа:

Сейчас разберёмся: как от десятичной записи перейти к обычной? И самое главное: как сделать это максимально быстро?

Основной алгоритм

На самом деле существует как минимум два алгоритма. И мы сейчас рассмотрим оба. Начнём с первого — самого простого и понятного.

Чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо выполнить три шага:

1. Переписать исходную дробь в виде новой дроби: в числителе останется исходная десятичная дробь, а в знаменателе нужно поставить единицу. При этом знак исходного числа также помещается в числитель. Например: \[0,75=\frac;\quad 1,33=\frac;\quad -7,41=\frac\]
2. Умножаем числитель и знаменатель полученной дроби на 10 до тех пор, пока в числителе не исчезнет запятая. Напомню: при каждом умножении на 10 запятая сдвигается вправо на один знак. Разумеется, поскольку знаменатель тоже умножается, там вместо числа 1 будут появляться 10, 100 и т.д. Примеры:
3. Наконец, сокращаем полученную дробь по стандартной схеме: делим числитель и знаменатель на те числа, которым они кратны. Например, в первом примере 0,75=75/100, при этом и 75, и 100 делятся на 25. Поэтому получаем $0,75=\frac=\frac=\frac$ — вот и весь ответ.:)

Важное замечание по поводу отрицательных чисел. Если в исходном примере перед десятичной дробью стоит знак «минус», то и на выходе перед обыкновенной дробью тоже должен стоять «минус». Вот ещё несколько примеров:

Особое внимание хотелось бы обратить на последний пример. Как видим, в дроби 0,0025 присутствует много нулей после запятой. Из-за этого приходится аж целых четыре раза умножать числитель и знаменатель на 10. Можно ли как-то упростить алгоритм в этом случае?

Конечно, можно. И сейчас мы рассмотрим альтернативный алгоритм — он чуть более сложен для восприятия, но после небольшой практики работает намного быстрее стандартного.

Более быстрый способ

В данном алгоритме также 3 шага. Чтобы получить обычную дробь из десятичной, нужно выполнить следующее:

1. Посчитать, сколько цифр стоит после запятой. Например, у дроби 1,75 таких цифр две, а у 0,0025 — четыре. Обозначим это количество буквой $n$.
2. Переписать исходное число в виде дроби вида $\frac^>>$, где $a$ — это все цифры исходной дроби (без «стартовых» нулей слева, если они есть), а $n$ — то самое количество цифр после запятой, которое мы посчитали на первом шаге. Другими словами, необходимо разделить цифры исходной дроби на единицу с $n$ нулями.
3. По возможности сократить полученную дробь.

Вот и всё! На первый взгляд, эта схема сложнее предыдущей. Но на самом деле он и проще, и быстрее. Судите сами:

Как видим, в дроби 0,64 после запятой стоит две цифры — 6 и 4. Поэтому $n=2$. Если убрать запятую и нули слева (в данном случае — всего один ноль), то получим число 64. Переходим ко второму шагу: $^>=^>=100$, поэтому в знаменателе стоит именно сто. Ну а затем остаётся лишь сократить числитель и знаменатель.:)

Ещё один пример:

Здесь всё чуть сложнее. Во-первых, цифр после запятой уже 3 штуки, т.е. $n=3$, поэтому делить придётся на $^>=^>=1000$. Во-вторых, если убрать из десятичной записи запятую, то мы получим вот это: 0,004 → 0004. Вспомним, что нули слева надо убрать, поэтому по факту у нас число 4. Дальше всё просто: делим, сокращаем и получаем ответ.

Наконец, последний пример:

Особенность этой дроби — наличие целой части. Поэтому на выходе у нас получается неправильная дробь 47/25. Можно, конечно, попытаться разделить 47 на 25 с остатком и таким образом вновь выделить целую часть. Но зачем усложнять себе жизнь, если это можно сделать ещё на этапе преобразований? Что ж, разберёмся.

Что делать с целой частью

На самом деле всё очень просто: если мы хотим получить правильную дробь, то необходимо убрать из неё целую часть на время преобразований, а затем, когда получим результат, вновь дописать её справа перед дробной чертой.

Например, рассмотрим то же самое число: 1,88. Забьём на единицу (целую часть) и посмотрим на дробь 0,88. Она легко преобразуется:

Затем вспоминаем про «утерянную» единицу и дописываем её спереди:

Вот и всё! Ответ получился тем же самым, что и после выделения целой части в прошлый раз. Ещё парочка примеров:

В этом и состоит прелесть математики: каким бы путём вы не пошли, если все вычисления выполнены правильно, ответ всегда будет одним и тем же.:)

В заключение хотел бы рассмотреть ещё один приём, который многим помогает.

Преобразования «на слух»

Давайте задумаемся о том, что вообще такое десятичная дробь. Точнее, как мы её читаем. Например, число 0,64 — мы читаем его как «ноль целых, 64 сотых», правильно? Ну, или просто «64 сотых». Ключевое слово здесь — «сотых», т.е. число 100.

А что насчёт 0,004? Это же «ноль целых, 4 тысячных» или просто «четыре тысячных». Так или иначе, ключевое слово — «тысячных», т.е. 1000.

Ну и что в этом такого? А то, что именно эти числа в итоге «всплывают» в знаменателях на втором этапе алгоритма. Т.е. 0,004 — это «четыре тысячных» или «4 разделить на 1000»:

Попробуйте потренироваться сами — это очень просто. Главное — правильно прочесть исходную дробь. Например, 2,5 — это «2 целых, 5 десятых», поэтому

А какое-нибудь 1,125 — это «1 целая, 125 тысячных», поэтому

В последнем примере, конечно, кто-то возразит, мол, не всякому ученику очевидно, что 1000 делится на 125. Но здесь нужно помнить, что 1000 = 10 3 , а 10 = 2 ∙ 5, поэтому

\[\begin& 1000=10\cdot 10\cdot 10=2\cdot 5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 5= \\& =2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 5=8\cdot 125\end\]

Таким образом, любая степень десятки раскладывается лишь на множители 2 и 5 — именно эти множители нужно искать и в числителе, чтобы в итоге всё сократилось.

На этом урок окончен. Переходим к более сложной обратной операции — см. «Переход от обыкновенной дроби к десятичной».

Смотрите также:

1. Сравнение дробей
2. Периодические десятичные дроби
3. Тригонометрические функции
4. Что такое числовая дробь
5. Задачи на проценты считаем проценты с помощью формулы
6. Более сложные задачи на производительность

• Вход для учеников
• ЕГЭ-2024
• Школьникам
• 1. Арифметика
• Арифметика
• Дроби
• Модуль
• Проценты
• Корни
• Степени
• Прогрессии
• Текстовые задачи
• 2. Алгебра
• Уравнения
• Системы уравнений
• Неравенства
• Системы неравенств
• Рациональные дроби
• Функции
• Многочлены
• Логарифмы
• Экспонента
• Задачи с параметром
• Вероятность
• 4. Геометрия
• Треугольники
• Многоугольники
• Окружность
• Стереометрия
• Векторы
• 3. Математический анализ
• Тригонометрия
• Предел
• Производная
• Интегралы
• Студентам
• Реклама
• Обо мне

• © 2010—2024 ИП Бердов Павел Николаевич
  ИНН 760708479500; ОГРНИП 309760424500020
• При использовании материалов ссылка на сайт обязательна
  Телефон: +7 (963) 963-99-33; почта: pavel@berdov.com
• Карта сайта

Применение десятичных дробей

Десятичные дроби имеют широкий спектр применения. Их применяют в экономике, медицине, машиностроении и во многих других отраслях. В данном уроке мы рассмотрим некоторые элементарные операции, которые могут пригодиться в будущем.

Сравнение десятичных дробей

Чтобы сравнить две десятичные дроби, нужно в обеих дробях сделать количество цифр после запятой одинаковым, приписáв к одной из них нули. Затем отбросить запятые в обеих дробях и сравнить получившиеся числа.

Например, сравним дроби 5,345 и 5,36 . В первой дроби после запятой три цифры, а во второй только две. В конце второй дроби нужно приписать ещё один ноль, чтобы количество цифр после запятой в обеих дробях стало одинаковым.

Припишем в конце второй дроби ноль, тогда получим дроби 5,345 и 5,360 . Теперь отбросим запятые в обеих дробях, получим 5345 и 5360 . Ну и сравниваем их как обычные числа. 5345 меньше, чем 5360

Значит и дробь 5,345 меньше, чем дробь 5,36

Пример 2. Сравнить десятичные дроби 6,782 и 6,71

Сделаем количество цифр в обеих дробях одинаковым:

6782 больше, чем 6710

Значит и дробь 6,782 больше, чем дробь 6,71

Нахождение десятичной дроби от числа

В прошлых уроках мы находили обыкновенную дробь от числа. Для этого мы делили число на знаменатель дроби и полученный результат умножáли на числитель дроби.

Например, чтобы найти от числа 9, нужно число 9 разделить на знаменатель дроби и полученный результат умножить на числитель этой же дроби

9 : 3 = 3
3 × 2 = 6

Значит от числа 9 составляет 6.

Но находить можно и десятичные дроби от числа. Нахождение десятичной дроби от числа намного проще. Чтобы найти десятичную дробь от числа, достаточно это число умножить на данную дробь.

Например, найдём 0,5 от числа 12. Чтобы найти 0,5 от числа 12, достаточно умножить 12 на 0,5

Получили ответ 6. Значит 0,5 от числа 12 составляет число 6.

Проверим правильно ли мы нашли 0,5 от числа 12. Сначала переведём десятичную дробь 0,5 в обыкновенную дробь. 0,5 это ноль целых и пять десятых. Ноль не пишем, а записываем сразу пять десятых:

Cделаем эту дробь более простой для нашей работы. Для этого сократим её на 5

Получили дробь . Теперь находим от числа 12. Нетрудно догадаться, что от числа 12 это число 6. Значит и десятичная дробь 0,5 от числа 12 была найдена правильно.

Пример 2. Найти 0,4 от одного метра

Один метр это 100 см. Чтобы найти 0,4 от 100 см, нужно 100 см умножить на 0,4. А чтобы умножить 100 см на 0,4 нужно в 0,4 перенести запятую вправо на две цифры:

Значит 0,4 от одного метра составляют 40 см.

Десятичную дробь также можно найти от десятичной дроби. Например, найдем 0,5 от 2,5. Для этого 2,5 нужно умножить на 0,5

Нахождение числа по десятичной дроби

В прошлых уроках мы находили число по обыкновенной дроби. Чтобы найти всё число по его дроби мы делили известное число на числитель дроби и полученный результат умножали на знаменатель дроби.

Например, если числа составляет 6, то для нахождения всего числа, нужно 6 разделить на 2 и полученный результат умножить на 4

Значит если всё число равно 12.

Находить число можно и по десятичной дроби. Нахождение числа по десятичной дроби намного проще. Чтобы найти число по десятичной дроби, достаточно это число разделить на данную дробь.

Пример 1. 0,6 всего числа составляет 12, найти всё число. Чтобы найти всё число, достаточно 12 разделить на 0,6.

Чтобы разделить 12 на 0,6 нужно в делимом и в делителе перенести запятую вправо на одну цифру. Тогда получим выражение 120 : 6. А это выражение вычисляется легко:

Значит, если 0,6 всего числа составляет 12, то всё число это 20.

Пример 2. Велосипедист проехал 3 км, что составляет 0,2 всего пути, который должен проехать велосипедист. Какой путь должен проехать велосипедист?

Если 0,2 всего пути составляют 3 км, то для того чтобы найти весь путь, нужно 3 разделить на 0,2. Чтобы разделить число 3 на 0,2 нужно в делимом и в делителе перенести запятую вправо на одну цифру. Тогда получим выражение 30 : 2. А это выражение вычисляется легко:

Значит весь путь, который должен проехать велосипедист составляет 15 км.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано Автор

21 thoughts on “Применение десятичных дробей”

Руслан :

Спасибо владельцам ресурса за их труды! У меня проблемы с математикой) искал где учить, что бы было коротко и по делу и вот нашел ваш сайт. Радует чистый дизайн, который не отвлекает и типографика отличная

Дмитрий :
Огромное спасибо обладателю этого ресурса. Прекрасные уроки!

Было бы хорошо, если важные моменты выделяли в специальное обведенное поле, как правило, теорема или просто подсказка. Иногда читать одно и тоже по нескольку раз за статью очень отвлекает и начинаешь путаться, так как думаешь, что это разные правила

Editor :

Здравствуйте. Спасибо за разумную критику. Уже думали над этим и хотим отказаться от такого формата. Причина по которой правило повторяется по нескольку раз за урок — чтобы человек понял, как его применять на практике. С первого раза мало кому удается «въехать».

помогите я запуталась. Сначало написано, что находя число от дроби, нужно умножить разделить на знаменатель, затем умножить на числитель, потом наоборот. Или я не понимаю.

Если находите обыкновенную дробь от числа, то делите число на знаменатель дроби и полученный результат умножаете на числитель.
Если находите десятичную дробь от числа, то просто умножаете это число на десятичную дробь.

Не меняйте ничего. Повторение очень помогает умвоению материала. Без этого вся информация улетучивпется очень быстро. Все идеально сделано. Это в первый раз когда я в е понимаю до мелочей и во ного благодаря повторению

Спасибо большое за урок.
Андрей :

Здравствуйте вы писали чтобы умножить 100 на 0,4 нужно в 0,4 перенести запятую вправо на две цифры, вопрос а не на одну цифру разве.

Editor :

На две, поскольку множитель 100 содержит два нуля. Если в числе 0,4 передвинуть запятую вправо на одну цифру, то получится 4. Если передвинуть на две цифры, то получится 40. 100 * 0,4 = 0,4 * 100
40 = 40

Сергей :
Спасибо! Огромные молодцы ��
Nurtilek :

Здравствуйте! Спасибо Вам за ваши интересные занятия.
У меня вопрос: А что если нам известно всё число и какая-нибудь доля этого числа и наша задача найти дробь?
К примеру, последний пример: Нам известно что Велосипедист проехал 3 км и что должен проехать ещё 12 км (т.е. общий путь 15 км). Как нам в такой ситуации найти дробь?

Nurtilek :
Интересен ответ так и в обыкновенной дроби, и в десятичной дроби
Editor :

Если проехал 3 км из 15 км, то получается, что он проехал пути или (если дробь будет сокращена на 3). Проехать останется пути или В десятичных дробях: Пройденный путь будет составлять 0,2 всего пути. Останется проехать 0,8 всего пути.

1.2. Десятичные дроби и действительные числа

Дроби, у которых знаменатель представляет собой степень десятки, т. е. 10, 102 = 100, 103 = 1000 и т. д., называются Десятичными дробями. Записываются они особым образом:

Попытка записать любую обыкновенную дробь в виде де­сятичной дроби приводит иногда к Бесконечной десятич­ной дроби. Например, разделив «уголком», мы получим:

Как видно, получающаяся бесконечная последователь­ность цифр содержит так называемый Период — один и тот же повторяющийся набор цифр. Поэтому получен­ные десятичные дроби называют Бесконечными перио­дическими десятичными дробями. Можно доказать, что любая обыкновенная дробь записывается в виде беско­нечной периодической десятичной дроби. Обратное так­же верно: любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. Как найти последнюю, поясним на примере.

Пример. Превратим в обыкновенные дроби числа Q = 0,777. и Р = 0,999.

Умножив на 10, получаем:

1) 10Q = 7,777. = 7 + Q, откуда 9Q = 7 и Q = .

Проверьте результат, превратив 7/9 в десятичную дробь.

2) 10P = 9,999. = 9 + р, откуда 9Р = 9 и Р = 1. Заме­тим, что 1 можно записать в виде бесконечной десятич­ной дроби с периодом 0: 1,000. ; аналогично, 0,24 = 0,24000. 3,5 = 3,5000. и т. п.

8. С помощью калькулятора и «вручную» превратите данную обыкновенную дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь и укажите период: , , , , .

9. Превратите бесконечную периодическую десятич­ную дробь в обыкновенную: 1,888. ; 0,1212. ; 0,444.

Решив эти примеры, каждый будущий юрист задаст себе вопрос: а имеют ли смысл бесконечные Непериоди­ческие десятичные дроби?

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треуголь­ник, длина катетов которого равна единице. Обозначим длину гипотенузы через Х. По теореме Пифагора

Докажем, что корни этого уравнения не являются рациональными числами. В самом деле, предположим противное, т. е. что корнем уравнения (1) является дробь (А и B — целые числа). Если дробь можно сократить, сделаем это, и будем полагать далее, что дробь является уже несократимой.

Подставляя в уравнение (1), получим = 2 или

Так как в правую часть равенства (2) входит множитель 2, то А2 — число четное. Следовательно, число А также четное и его можно записать в виде А = 2С. Подставив в (2), получим (2С)2 = 2B2 или, сократив на 2, 2С2 = B2. Отсюда следует, что число B2 также является четным. Но тогда четным будет и число B. Теперь, поскольку оба числа А и B получились четными, дробь является сократимой. Это противоречит сделанному выше предпо­ложению, что дробь — несократимая. Противоречие возникло вследствие того, что в самом начале было сде­лано неверное предположение — корнем уравнения (1) является рациональное число — дробь . Следовательно, никакая дробь не может быть корнем уравнения (1), что и требовалось доказать.

Результат наших рассуждений можно сформулиро­вать иначе: квадратный корень из числа 2 не является рациональным числом, т. е. бесконечной периодической десятичной дробью.

Описанная процедура позволяет находить все более точные приближения числа . Но ни одно из этих

Приближений не может быть равным , так как все приближенные значения являются рациональными чис­лами, а мы доказали, что не является рациональным числом. Поэтому последовательность приближенных значений будет Бесконечной.

Итак, число представляется в виде бесконечной последовательности приближенных значений. Каждое последующее значение получается добавлением к преды­дущему нового десятичного знака. Это позволяет запи­сать в виде бесконечной десятичной дроби:

Описанным способом можно находить десятичные приближения любого числа. Для обыкновенных дробей — это просто деление уголком (см. выше), которое приводит к бесконечным периодическим дробям. По­скольку число не является рациональным, то пред­ставляющая его бесконечная десятичная дробь не будет периодической. Таким образом, мы приходим к понятию Бесконечной непериодической десятичной дроби.

Для чисел вида , A N Также имеются процеду­ры, позволяющие найти любое число знаков в их деся­тичной записи. Один из таких алгоритмов мы приводим ниже без описания:*

* Это ребус посложнее, чем деление «уголком». Попробуйте его разгадать.

Найдите еще несколько знаков и проверьте резуль­тат с помощью калькулятора.

Заметим, что всякую бесконечную десятичную дробь можно записать в виде суммы бесконечного числа сла­гаемых:

Такие суммы называются Рядами. Первый ряд представ­ляет собой так называемую Бесконечную геометриче­скую прогрессию, с которой, возможно, Вы познакоми­лись в школе. Второй ряд прогрессией уже не является.

В школе Вы решали квадратные, кубические и би­квадратные уравнения. Их корни выражаются через ра­дикалы второй, третьей или четвертой степени. Напри­мер, уравнение Х3 = 5 имеет корень Х = , уравнение 2X2 = 3 — корни Х = и Х = –. Корни квадратного уравнения

Ax2 + bх + С = 0

вычисляются по формуле

В школьных учебниках числа А, B и С обычно подбира­ют так, чтобы под корнем получался квадрат целого числа. Но, если коэффициенты уравнения не подбирать специально, то корни Х1 и Х2 будут, вообще говоря, бес­конечными непериодическими десятичными дробями. Наиболее общий результат формулируется так: корень любого алгебраического уравнения

Степени П с целыми коэффициентами (если этот корень существует!) является, вообще говоря, бесконечной не­периодической десятичной дробью.

Помимо алгебраических уравнений, существуют другие источники получения бесконечных непериодических десятичных дробей.

Определим два очень важных числа. Первое из них — число , равное отношению длины L произволь­ной окружности к ее диаметру D:

Это число известно с глубокой древности. Вавилонские, египетские, китайские и греческие математики нашли различные приближенные значения числа .

И другие. Рассматривая вписанные в окружность правильные 2N-угольники, Архимед умел вычислять с большой точностью. В частности, он нашел, что .

Лейбниц доказал, что число можно представить в виде следующего ряда:

(Заметьте, что дроби в правой части не являются десятичными.) Этот ряд позволяет находить приближенные значения числа . Например, мы можем переписать ра­венство (4) так:

В скобках стоят положительные числа. Поэтому, «отбросив» их, мы увеличиваем правую часть:

Умножив это равенство на 4, найдем оценку «сверху» для числа P:

С другой стороны, из того же равенства (4) находим:

В скобках стоят положительные слагаемые. Поэтому, отбрасывая их, получаем:

Что дает оценку «снизу» для числа P: . Итак, мы получили, что

Это довольно грубая оценка истинного значения числа P. Ее можно улучшить, если взять для оценки не 5, а более слагаемых из ряда (4). Вот первые 15 точных знаков после запятой:

P = 3,141592653589793.

Другое очень известное в математике число — так называемое неперово* число Е — также может быть представлено в виде ряда:

* В честь математика XVI в. Джона Непера.

Здесь мы используем стандартное обозначение П! = , которое читается «N факториал».

Чтобы найти приближенное значение числа Е, нужно в сумме (5) оставить несколько слагаемых, а остальны­ми пренебречь. Чем больше слагаемых мы оставим, тем точнее будет результат:

Е = 2,718281828459045.

Используя ЭВМ, можно подсчитать числа Е и P с любой точностью.

Числа P И Е относятся к так называемым Трансцендентным числам. Так называются числа, которые не могут быть корнями никакого уравнения вида (3) с це­лыми коэффициентами.

Подведем итоги. Назовем Действительными или Ве­щественными числами все бесконечные десятичные дроби. Обозначим множество всех таких чисел через R. Из предыдущих рассуждений вытекает, что множество R включает в себя множество Q всех рациональных чи­сел, поэтому можно записать

N Ì Z Ì Q Ì R.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются Иррациональными.

Весьма важный математический факт заключается в том, что множество действительных чисел является Упо­рядоченным. Это означает, что любые два действитель­ных числа можно сравнить между собой, т. е. указать, какое из них больше (или меньше). Процедура сравне­ния очень проста: нужно последовательно сравнивать цифры, стоящие на одинаковых позициях. Например, 2,381615. > 2,381529. т. к. на первых четырех пози­циях соответствующие цифры одинаковы, а 6 > 5. Опи­санное правило сравнения работает при одном (и един­ственном) соглашении: не рассматривать периодические дроби с периодом 9. При этом множество действительных чисел, образно говоря, не сузится, т. к. всякую беско­нечную периодическую дробь с периодом 9 можно заме­нить равной ей Конечной десятичной дробью, например:

0,999. = 1, 0,42999. = 0,43, 2,65999. = 2,66 и т. п. (см. пример на с. 15).

Напомним свойства операций сложения и умноже­ния действительных чисел:

Переместительность или коммутативность:

А + b = B + а;

Сочетательность или ассоциативность (для сложе­ния):

(A + B) + с = А + (b + с);

Сочетательность или ассоциативность (для умножения):

(Ab)C = А(Bс);

Распределительность или дистрибутивность:

A(B + с) = АB + ас.

Числовые множества N, Z, Q, R являются примера­ми так называемых Числовых систем, которые имеют специальные названия. Например, говорят Кольцо целых чисел, поле рациональных чисел, поле действительных чисел. Эти термины мы обсуждаем в восьмой главе. Там мы покажем, в частности, что поле действительных чи­сел можно расширить и получить так называемые Комп­лексные числа.

ПРАВИЛО ОКРУГЛЕНИЯ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

Поясним на примере. Следующие десятичные дроби мы округляем до сотых долей:

0,811 » 0,81, 0,812 » 0,81, . 0,814 » 0,81, 0,815 » 0,82, 0,816 » 0,82, . 0,819 » 0,82.

10. Вычислите с помощью калькулятора и округлите до тысячных:

11. Найдите 3!, 4!, 5!, 6!, 7!, 81, 9!, 10!.

12. Расставьте правильно знаки > или

А) 0,142816. 0,142827. ; б) ; в) ; г) 2,421619.

13. Округлите числа P и Е до тысячных.

14. Решите линейное уравнение 3Х – 2 = 0, запишите ответ в виде бесконечной периодической десятичной дроби и округлите его до сотых.

15. Решите неравенство 3Х + 7 > 0, запишите ответ в виде бесконечной периодической десятичной дроби и округлите его до сотых.

ДЕЙСТВИЯ СО СТЕПЕНЯМИ

Из этого определения следует, что для любых натураль­ных чисел Т И п справедливы следующие формулы:

Am an = am+n, (an)m = amn, an bn = (Ab)N.

Число, которое при возведении в степень П дает A, на­зывается корнем степени N из А. Если число П нечетное, то существует только один корень степени П из числа А, Который обозначается или . Если N четное, а число А — положительное, то корней будет два. Напри­мер, числа 3 и –3 будут корнями четвертой степени из 81, т. к. 34 = 81 и (–3)4 = 81. Положительный корень на­зывается арифметическим и именно он обозначается символом или .

Степень с дробным показателем определяется так:

Оказывается, что имеют смысл и выражения вида Aх, Где Х — любое действительно число, например . Дей­ствия с такими степенями производятся по тем же пра­вилам, что и с натуральными степенями, например, .

При различных вычислениях большие числа удобно записывать в так называемой Стандартной форме, т. е. в виде произведения двух множителей, первый из кото­рых заключен между числами 1 и 10, а второй пред­ставляет собой степень десятки: 243507 = 2,43507 • 105, 0,184 = 1,84 • 10–1 и т. д. Стандартную форму использу­ют при работе с калькулятором, в особенности тогда, когда не хватает разрядов для точных вычислений. На­пример,

243507 • 1385462 = 2,43507 • 105 • 1,385462 • 106 = (2,43507 • 1,385462) • 1011 » 3,37369695 • 1011;

317 = 316 • 3 = (34)4 • 3 = (81)4 • 3 = (6581)2 • 3 = 3 • (6,581 • 103)2 = 3 • (6,581)2 • (103)2 » 129,140163 • 106.

ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ

2. Вычислите, округляя в каждом действии резуль­тат до тысячных; окончательный результат округлите до сотых:

3. Найдите корни квадратного уравнения и округли­те результат до сотых:

Одна сотая доля какого-либо количества называется Процентом. Например, в городе N всего 300 судей, сле­довательно, 3 судьи — это 1%, 6 судей — 2% и т. д.

Подумайте, сколько тверских судей составляют 4% от их общего числа? (В Твери 145 судей.)

Другой пример. Некто утаил прибыль в размере 10 млн. руб. Какую сумму недополучила казна, если налог на прибыль составляет 22%?

Решение: 10 млн • = 2,2 млн.

ТИПОВОЕ ЗАДАНИЕ

4. За год в области совершено 6720 преступлений. Из них тяжких — 33; в состоянии алкогольного опьянения — 3262; связанных с дорожно-транспортными происшествиями — 1310. После завершения следствия переданы в суд 4520 дел; по 3816 из них уже вынесены приговоры, причем половина из последних — обвини­тельные; из всех обвинительных приведены в исполне­ние 40%. Заполните до конца следующую таблицу:

В первом столбце проставьте соответствующие абсолютные значения, а во втором укажите, какой процент они составляют от общего числа преступлений.

• Главная
• Заказать работу
• Стоимость решения
• Варианты оплаты
• Ответы на вопросы (FAQ)
• Отзывы о нас
• Примеры решения задач
• Методички по математике
• Помощь по всем предметам
• Заработок для студентов

Похожие публикации:

1. Как изменить микрофон в браузере
2. Какой hdmi поддерживает 144 гц
3. Ссылка на сайт как оформить
4. 05200 00620 подделка как отличить