Как проверить равномерность распределения

Проверка гипотезы о равномерном распределении

В качестве примера непрерывной случайной величины рассмотрим случайную величину X, равномерно распределенную на интервале (a; b). Говорят, что случайная величина X равномерно распределена на промежутке (a; b), если ее плотность распределения непостоянна на этом промежутке:

Из условия нормировки определим значение константы c . Площадь под кривой плотности распределения должна быть равна единице, но в нашем случае — это площадь прямоугольника с основанием (b — α) и высотой c (рис. 1).

Рис. 1 Плотность равномерного распределения
Отсюда находим значение постоянной c :

Итак, плотность равномерно распределенной случайной величины равна

Найдем теперь функцию распределения по формуле:
1) для
2) для
3) для 0+1+0=1.
Таким образом,

Функция распределения непрерывна и не убывает (рис. 2).

Рис. 2 Функция распределения равномерно распределенной случайной величины

Найдем математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины по формуле:

Дисперсия равномерного распределения рассчитывается по формуле и равна

Пример №1 . Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0.2 . Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0.04 ; б) большая 0.02
Решение. Ошибка округления есть случайная величина, равномерно распределенная на промежутке между соседними целыми делениями. Рассмотрим в качестве такого деления интервал (0; 0,2) (рис. а). Округление может проводиться как в сторону левой границы — 0, так и в сторону правой — 0,2, значит, ошибка, менее либо равная 0,04, может быть сделана два раза, что необходимо учесть при подсчете вероятности:

P = 0,2 + 0,2 = 0,4

Для второго случая величина ошибки может превышать 0,02 также с обеих границ деления, то есть она может быть либо больше 0,02, либо меньше 0,18.

Тогда вероятность появления такой ошибки:

Пример №2 . Предполагалось, что о стабильности экономической обстановки в стране (отсутствии войн, стихийных бедствий и т. д.) за последние 50 лет можно судить по характеру распределения населения по возрасту: при спокойной обстановке оно должно быть равномерным. В результате проведенного исследования, для одной из стран были получены следующие данные.

Возрастной интервал	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	70-80
Доля населения	0,14	0,09	0,10	0,08	0,16	0,13	0,12	0,18

Решение
Видео решение

Решение проводим с помощью калькулятора Проверка гипотез. Таблица для расчета показателей.

Группы	Середина интервала, x_i	Кол-во, f_i	x_i * f_i	Накопленная частота, S	\|x — x_ср\|*f	(x — x_ср) 2 *f	Частота, f_i/n
0 — 10	5	0.14	0.7	0.14	5.32	202.16	0.14
10 — 20	15	0.09	1.35	0.23	2.52	70.56	0.09
20 — 30	25	0.1	2.5	0.33	1.8	32.4	0.1
30 — 40	35	0.08	2.8	0.41	0.64	5.12	0.08
40 — 50	45	0.16	7.2	0.57	0.32	0.64	0.16
50 — 60	55	0.13	7.15	0.7	1.56	18.72	0.13
60 — 70	65	0.12	7.8	0.82	2.64	58.08	0.12
70 — 80	75	0.18	13.5	1	5.76	184.32	0.18
1	43	20.56	572	1

Показатели центра распределения.
Средняя взвешенная

Показатели вариации.
Абсолютные показатели вариации.
Размах вариации — разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = X_max — X_min
R = 70 — 0 = 70
Дисперсия — характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение.

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 43 не более, чем на 23.92
Проверка гипотез о виде распределения.
4. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности.
Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении X,т.е. по закону: f(x) = 1/(b-a) в интервале (a,b)
надо:
1. Оценить параметры a и b — концы интервала, в котором наблюдались возможные значения X, по формулам (через знак * обозначены оценки параметров):

2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения f(x) = 1/(b * — a * )
3. Найти теоретические частоты:
n₁ = nP₁ = n[f(x)*(x₁ — a * )] = n*1/(b * — a * )*(x₁ — a * )
n₂ = n₃ = . = n_s-1 = n*1/(b * — a * )*(x_i — x_i-1)
n_s = n*1/(b * — a * )*(b * — x_s-1)
4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-3, где s — число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s — число интервалов, оставшихся после объединения.

Решение:
1. Найдем оценки параметров a * и b * равномерного распределения по формулам:

2. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:
f(x) = 1/(b * — a * ) = 1/(84.42 — 1.58) = 0.0121
3. Найдем теоретические частоты:
n₁ = n*f(x)(x₁ — a * ) = 1 * 0.0121(10-1.58) = 0.1
n₈ = n*f(x)(b * — x₇) = 1 * 0.0121(84.42-70) = 0.17
Остальные n_s будут равны:
n_s = n*f(x)(x_i — x_i-1)

i	n_i	n * _i	n_i — n * _i	(n_i — n*_i) 2	(n_i — n * _i) 2 /n * _i
1	0.14	0.1	0.0383	0.00147	0.0144
2	0.09	0.12	-0.0307	0.000943	0.00781
3	0.1	0.12	-0.0207	0.000429	0.00355
4	0.08	0.12	-0.0407	0.00166	0.0137
5	0.16	0.12	0.0393	0.00154	0.0128
6	0.13	0.12	0.0093	8.6E-5	0.000716
7	0.12	0.12	-0.000701	0	4.0E-6
8	0.18	0.17	0.00589	3.5E-5	0.000199
Итого	1	0.0532

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение K_набл, тем сильнее довод против основной гипотезы.
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [K_kp;+∞).
Её границу K_kp = χ 2 (k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ 2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры a и b).
Kkp = 11.07050; Kнабл = 0.0532
Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл Пример №3 . Для статистического анализа некоторой случайной величины был построен вариационный ряд:

x_i	1	2	3	4	5	6	7
m_i	26	21	18	32	26	26	31

Проверьте гипотезу о том, что данная случайная величина имеет равномерное дискретное распределение. Уровень значимости a= 0,1.
Решение. Выдвигаем основную и альтернативную гипотезы:
H₀: данная случайная величина имеет равномерное дискретное распределение;
H₁: данная случайная величина не имеет равномерное дискретное распределение.
Считаем, что данное распределение является равномерным дискретным. Тогда вероятности всех значений этой величины одинаковы и равны (k – количество значений случайной величины). Умножаем эту вероятности на объём выборки (n = 180) и получаем теоретические частоты m_i’ = 0,1429×180 = 25,714 (они также будут все одинаковыми).
Заполняем два оставшихся столбца и находим суммы по столбцам.

x_i	m_i	p_i	m_i’	m_i– m_i’
1	26	0,1429	25,714	0,286	0,003181
2	21	0,1429	25,714	-4,714	0,864191
3	18	0,1429	25,714	-7,714	2,31414
4	32	0,1429	25,714	6,286	1,536665
5	26	0,1429	25,714	0,286	0,003181
6	26	0,1429	25,714	0,286	0,003181
7	31	0,1429	25,714	5,286	1,086637
S	180	1	180	0	5,811

Последняя сумма соответствует искомому критерию Χ_набл 2 =5,811.
Данная выборка разбита на l = 7 интервалов. Для дискретного равномерного распределения р = 0 (подбираемых параметра нет). Поэтому число степеней свободы в данном случае k = l-p — 1 = 7 — 0 — 1 = 6. При уровне значимости a= 0,1 и найденному числу степеней свободы из таблицы критических точек распределения Χ 2 находим значение критерия Χ_кр 2 =10.64.
Т.к. Χ_набл 2 < Χ_кр 2 , то нулевая гипотеза принимается: выборочные данные не противоречат тому, что распределение данной случайной величины является равномерным дискретным.

Пример №4 . Игральную кость бросили 600 раз и результаты наблюдений записали в виде статистического ряда. Случайная величина X – число выпавших очков, n_i – частота выпадения i очков, где i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 . На уровне значимости α = 0,01 проверить гипотезу о симметричности игральной кости.

Пример №5 . Заданная непрерывная случайная величина Х равномерно распределена в интервале (α, β).
Найти:
1) Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
2) интегральную функцию распределения.
3) Сделать графики дифференциальной и интегральной функций распределения.
α=3, β=8

3.5. Проверка гипотезы о равномерном распределении выборки

Для того, чтобы при уровне значимости α, проверить гипотезу о равномерном распределении выборочной совокупности 2, надо [2]:

Оценить параметры а и b – концов интервала, в котором наблюдались возможные значения случайной величины X, по формулам (28) и (29).
Найти плотность вероятности предполагаемого равномерного распределения по формуле (9).
Определить теоретические частоты по формулам:

; ; (32)

Найти наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле (30).
Найти критическую точку (;r) по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы r. Критическую точку(;r) находят по таблице критических точек распределения (приложение 4)
Принять или не принять гипотезу о равномерном распределении выборочной совокупности 2.

Вычисления для выборки 2 представлены в таблице 14. Таблица 14

			f(x)
8	11	15	0,04	16.8	0,19
11	14	14	0,04	12	0,33
14	17	15	0,04	12	0,75
17	20	9	0,04	12	0,75
20	23	9	0,04	12	0,75
23	26	10	0,04	12	0,33
26	29	13	0,04	12	0,08
29	32	15	0,04	14	0,07
					3,25

Уровень значимости α для проверки гипотезы о равномерном распределении выборочной совокупности 2 выбираем равным 0,05, а число степеней свободы r определяется по формуле r=k-3. Информационная справка о результатах проверки гипотезы о равномерном распределении выборки 2 представлена в таблице 15. Таблица 15 Проверка гипотезы о равномерном распределении выборки 2

Нулевая гипотеза H₀: выборочная совокупность 2 имеет равномерное распределение с параметрами a=7,16 и b=32,30.

Число степеней свободы: k=r-3=8-3=5

Уровень значимости a=0,05

Критическая точка

=11,1

Наблюдаемое значение критерия Пирсона

=3,25

Критическая область (

;+∞): (11,1; +∞)

Область принятия гипотезы (0;

):(0;11,1)

Условие принятия H₀

(0;

): 3,25

(0;11,1)

Условие непринятия H₀

(

;+∞): 3,25

(11,1; +∞)

Результат проверки гипотезы: выборочная совокупность 2 имеет равномерное распределение с параметрами a=7,16 и b=32,30

3.6. Проверка гипотезы о показательном распределении выборки

Для того, чтобы при уровне значимости , проверить гипотезу о показательном распределении выборочной совокупности 3, надо:

Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней: .
Найти вероятности попадания случайной величины X в частичные интервалы (,) по формуле (11).
Определить теоретические частоты по формуле (31).
Найти наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле (30).
Найти критическую точку (;r) по заданному уровню значимостии числу степеней свободы r. Критическую точку(;r) находят по таблице критических точек распределения (приложение 4)
Принять или не принять гипотезу о равномерном распределении выборочной совокупности 3.

Вычисления для выборки 3 представлены в таблице 16. Таблица 16

			λ	λ
0	5	42	0	0,55	1	0,5769	0,4231	42,31	0,002
5	10	23	0,55	1,1	0,5769	0,3329	0,2440	24,4	0,080
10	15	17	1,1	1,65	0,3329	0,1920	0,1409	14,09	0,601
15	20	8	1,65	2,2	0,1920	0,1108	0,0812	8,12	0,002
20	25	5	2,2	2,75	0,1108	0,0639	0,0469	4,69	0,020
25	30	1	2,75	3,3	0,0639	0,0369	0,0270	2,70	1,070
30	35	1	3,3	3,85	0,0369	0,0213	0,0156	1,56	0,201
35	40	3	3,85	4,4	0,0213	0,0123	0,0090	0,90	4,9
									6,88

Уровень значимости α для проверки гипотезы о показательном распределении выборочной совокупности 3 выбираем равным 0,05, а число степеней свободы r определяется по формуле r=k-2. Информационная справка о результатах проверки гипотезы о показательном распределении выборки 3 представлена в таблице 17. Таблица 17 Проверка гипотезы о показательном распределении выборки 3

Нулевая гипотеза Н₀: выборочная совокупность 3 имеет показательное распределение с параметром λ=0,11.

Число степеней свободы: k=r-2=8-2=6

Уровень значимости α=0,05

Критическая точка

=12,6

Наблюдаемое значение критерия Пирсона

=6,88

Критическая область (

;+∞): (11,1; +∞)

Область принятия гипотезы (0;

):(0;12,6)

Условие принятия Н₀

(0;

): 6,88

(0;12,6)

Условие непринятия Н₀

(

;+∞): 6,88

(12,6; +∞)

Результат проверки гипотезы: выборочная совокупность 3 имеет показательное распределение с параметром λ=0,11.

Равномерное распределение вероятностей

Простейшее из непрерывных распределений, с помощью которого моделируются многие реальные процессы. И самый такой распространённый пример – это график движения общественного транспорта. Предположим, что некий автобус (троллейбус / трамвай) ходит с интервалом в 10 минут, и вы в случайный момент времени подошли к остановке. Какова вероятность того, что автобус подойдёт в течение 1 минуты? Очевидно, 1/10-я. А вероятность того, что придётся ждать 4-5 минут? Тоже . А вероятность того, что автобус придётся ждать более 9 минут? Одна десятая!

Рассмотрим некоторый конечный промежуток, пусть для определённости это будет отрезок . Если случайная величина обладает постоянной плотностью распределения вероятностей на данном отрезке и нулевой плотностью вне него, то говорят, что она распределена равномерно. При этом функция плотности будет строго определённой:

И в самом деле, если длина отрезка (см. чертёж) составляет , то значение неизбежно равно – дабы получилась единичная площадь прямоугольника, и было соблюдено известное свойство:

Проверим его формально:
, ч.т.п. С вероятностной точки зрения это означает, что случайная величина достоверно примет одно из значений отрезка …, эх, становлюсь потихоньку занудным старикашкой =)

Суть равномерности состоит в том, что какой бы внутренний промежуток фиксированной длины мы ни рассмотрели (вспоминаем «автобусные» минуты) – вероятность того, что случайная величина примет значение из этого промежутка будет одной и той же. На чертеже я заштриховал троечку таких вероятностей – ещё раз заостряю внимание, что они определяются площадями, а не значениями функции !

Рассмотрим типовое задание:

Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения:

Найти константу , вычислить и составить функцию распределения. Построить графики . Найти

Иными словами, всё, о чём только можно было мечтать 🙂

Решение: так как на интервале (конечном промежутке) , то случайная величина имеет равномерное распределение, и значение «цэ» можно отыскать по прямой формуле . Но лучше общим способом – с помощью свойства:

…почему лучше? Чтобы не было лишних вопросов 😉

Таким образом, функция плотности:

Выполним чертёж. Значения невозможны, и поэтому жирные точки ставятся внизу:

В качестве экспресс-проверки вычислим площадь прямоугольника:
, ч.т.п.

Найдём математическое ожидание, и, наверное, вы уже догадываетесь, чему оно равно. Вспоминаем «10-минутный» автобус: если случайным образом подходить к остановке много-много дней ~~упаси~~, то в среднем его придётся ждать 5 минут.

Да, именно так – матожидание должно находиться ровно посерединке «событийного» промежутка:
, как и предполагалось.

Дисперсию вычислим по формуле . И вот тут нужен глаз да глаз при вычислении интеграла:

Таким образом, дисперсия:

Составим функцию распределения . Здесь ничего нового:

3) и, наконец, при , поэтому:

Выполним чертёж:

На «живом» промежутке функция распределения растёт линейно, и это ещё один признак, что перед нами равномерно распределённая случайная величина. Ну, ещё бы, ведь производная линейной функции – есть константа.

Требуемую вероятность можно вычислить двумя способами, с помощью найденной функции распределения:

либо с помощью определённого интеграла от плотности:

Кому как нравится.

И здесь ещё можно записать ответ: ,
, графики построены по ходу решения.

…«можно», потому что за его отсутствие обычно не карают. Обычно 😉

Для вычисления и равномерной случайной величины существуют специальные формулы, которые я предлагаю вам вывести самостоятельно:

Непрерывная случайная величина задана плотностью .

Вычислить математическое ожидание и дисперсию. Результаты максимально упростить (формулы сокращённого умножения в помощь).

Полученные формулы удобно использовать для проверки, в частности, проверьте только что прорешанную задачу, подставив в них конкретные значения «а» и «б». Краткое решение внизу страницы.

И в заключение урока мы разберём парочку «текстовых» задач:

Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Считая, что погрешности округлений распределены равномерно, найти вероятность того, что при очередном измерении она не превзойдёт 0,04.

Для лучшего понимания решения представим, что это какой-нибудь механический прибор со стрелкой, например, весы с ценой деления 0,2 кг, и нам предстоит взвесить кота в мешке. Но не в целях выяснить его упитанность – сейчас будет важно, ГДЕ между двумя соседними делениями остановится стрелка.

Рассмотрим случайную величину – расстояние стрелки от ближайшего левого деления. Или от ближайшего правого, это не принципиально.

Составим функцию плотности распределения вероятностей:

1) Так как расстояние не может быть отрицательным, то на интервале . Логично.

2) Из условия следует, что стрелка весов с равной вероятностью может остановиться в любом месте между делениями*, включая сами деления, и поэтому на промежутке :

* Это существенное условие. Так, например, при взвешивании кусков ваты или килограммовых пачек соли равномерность будет соблюдаться на куда более узких промежутках.

3) И поскольку расстояние от БЛИЖАЙШЕГО левого деления не может быть больше, чем 0,2, то при тоже равна нулю.

Следует отметить, что о функции плотности нас никто не спрашивал, и её полное построения я привёл исключительно в познавательных цепях. При чистовом оформлении задачи достаточно записать только 2-й пункт.

Теперь ответим на вопрос задачи. Когда погрешность округления до ближайшего деления не превзойдёт 0,04? Это произойдёт тогда, когда стрелка остановится не далее чем на 0,04 от левого деления справа или не далее чем на 0,04 от правого деления слева. На чертеже я заштриховал соответствующие площади:

Осталось найти эти площади с помощью интегралов. В принципе, их можно вычислить и «по-школьному» (как площади прямоугольников), но простота не всегда находит понимание 😉

– вероятность того, что ошибка округления не превзойдёт 0,04 (40 грамм для нашего примера)

Легко понять, что максимально возможная погрешность округления составляет 0,1 (100 грамм) и поэтому вероятность того, что ошибка округления не превзойдёт 0,1 равна единице. И из этого, кстати, следует другой, более лёгкий способ решения, в котором нужно рассмотреть случайную величину – погрешность округления до ближайшего деления. Но первый способ мне пришёл в голову первым 🙂

Ответ: 0,4

И ещё один момент по задаче. В условии речь может идти о погрешностях не округлений, а о случайных погрешностях самих измерений, которые, как правило (но не всегда), распределены по нормальному закону. Таким образом, всего лишь одно слово может в корне изменить решение! Будьте начеку и вникайте в смысл задач!

И коль скоро всё идёт по кругу, то ноги нас приносят на ту же остановку:

Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию и интервалом 7 минут. Составить функцию плотности случайной величины – времени ожидании очередного автобуса пассажиром, который наудачу подошёл к остановке. Найти вероятность того, что он будет ждать автобус не более трёх минут. Найти функцию распределения и пояснить её содержательный смысл.

Несмотря на то, что время не может быть отрицательным, интервал не имеет особого смысла исключать из рассмотрения, ибо противоречия тут нет – вероятность того, что случайная величина примет невозможное значение, равна нулю.

Краткое решение и ответ в конце урока. Дополнительные задачи с равномерным распределением можно найти в тематическом решебнике.

И не успел никто опомниться, как подошёл очередной автобус, который отвезёт нас до остановки Показательное распределение и конечной под названием Нормальное распределение вероятностей.

Решения и ответы:

Пример 2. Решение: вычислим математическое ожидание:

Дисперсию вычислим по формуле .

Таким образом:

Пример 4. Решение: случайная величина имеет равномерное распределение с плотностью:

Вычислим вероятность того, что пассажир будет ожидать автобус не более 3 минут:

Составим функцию распределения :
1) если , то и ;
2) если , то и ;
3) если , то , и .
Таким образом:

Функция описывает вероятность того, что пассажир дождётся очередной автобус за время, МЕНЬШЕЕ, чем . При увеличении от 0 до 7 эта вероятность линейно возрастает на в минуту и по достижению достоверным становится тот факт, что пассажир автобуса дождался (форс-мажор исключаем).

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Решения задач на проверку статистических гипотез

Проверка статистических гипотез включает в себя большой пласт задач математической статистики. Зная некоторые характеристики выборки (или имея просто выборочные данные), мы можем проверять гипотезы о виде распределении случайной величины или ее параметрах (примеры этих задач на странице Проверка гипотез о параметрах распределения).

Ниже в примерах мы разберем основные учебные задачи на проверку гипотез о виде распределения. Чаще всего для этого используется критерий согласия $\chi^2$ Пирсона, а также критерий Колмогорова-Смирнова.

Критерий согласия Пирсона (или критерий $\chi^2$ — «хи квадрат») — наиболее часто употребляемый для проверки гипотезы о принадлежности некоторой выборки теоретическому закону распределения (в учебных задачах чаще всего проверяют «нормальность» — распределение по нормальному закону).

В учебных задачах обычно используется следующий алгоритм:

Выбор теоретического закона распределения (обычно задан заранее, если не задан — анализируем выборку, например с помощью гистограммы относительных частот, которая имитирует плотность распределения).
Оцениваем параметры распределения по выборке (для этого вычисляется математическое ожидание и дисперсия): $a, \sigma$ для нормального, $a,b$ — для равномерного, $\lambda$ — для распределения Пуассона и т.д.
Вычисляются теоретические значения частот (через теоретические вероятности попадания в интервал) и сравниваются с исходными (выборочными).
Анализируется значение статистики $\chi^2$ и делается вывод о соответствии (или нет) теоретическому закону распределения.

Подробные примеры на разные распределения и критерии вы найдете ниже.

Понравилось? Добавьте в закладки

Примеры решений на проверку гипотез онлайн

Критерий Пирсона, нормальное распределение

Пример 1. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности X по результатам выборки:
X 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 2,1 2,3
N 7 9 28 27 30 26 21 25 22 9 5

Пример 2. Были исследованы 200 готовых деталей на отклонения истинного размера от расчетного. Сгруппированные данные приведены в следующей таблице:
По данному статистическому ряду построить гистограмму. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу о виде закона распределения (например, предположить, что исследуемая величина имеет нормальный закон распределения). Подобрать параметры закона распределения (равные их оценкам на основе опытных данных). На том же графике построить функцию плотности вероятности, соответствующую выдвинутой гипотезе. С помощью критерия согласия проверить, согласуется ли гипотеза с опытными данными. Уровень значимости взять, например, равным 0,05.

Критерий Пирсона, распределение по закону Пуассона

Пример 3. Отдел технического контроля проверил n партий однотипных изделий и установил, что число нестандартных изделий в одной партии имеет эмпирическое распределение, приведенное в таблице, в одной строке которой указано количество xi нестандартных изделий в одной партии, а в другой строке – количество ni партий, содержащих xi нестандартных изделий. Требуется при уровне значимости α0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина X (число нестандартных изделий в одной партии) распределена по закону Пуассона.

Пример 4. В результате обследования 150 человек были получены данные о количестве приобретаемых за месяц цветных иллюстрированных журналов. Соответствует ли данное распределение закону редких событий Пуассона?

Критерий Пирсона, распределение по показательному закону

Пример 5. В итоге испытаний 1000 элементов на время безотказной работы (час.) получено распределение, приведенное в таблице. Требуется при уровне значимости проверить гипотезу о том, что данные в генеральной совокупности распределены по показательному закону.
Время безотказной работы 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70
Число отказавших элементов 365 245 150 100 70 45 25

Критерий Пирсона, распределение по равномерному закону

Пример 6. В некоторой местности в течение 300 суток регистрировалась среднесуточная температура воздуха. В итоге наблюдений было получено эмпирическое распределение, приведенное в таблице 40 (в первом столбце указан интервал температуры в градусах, во втором столбце – частота $n_i$, т.е. количество дней, среднесуточная температура которых принадлежит этому интервалу).
Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что среднесуточная температура воздуха распределена равномерно.

Критерий Колмогорова

Пример 7. Имеются выборочные данные о числе сделок, заключенных фирмой с частными лицами в течение месяца:
— число заключенных сделок 0-10 10-20 20-30 30-40 40-50
— число частных лиц 23 24 11 9 3
Проверить при уровне значимости 0,05, используя критерий согласия Колмогорова, гипотезу о нормальном законе распределения.

Пример 8. В течение месяца выборочно осуществлялась проверка торговых точек города по продаже овощей. Результаты двух проверок по недовесам покупателям одного вида овощей приведены в таблице:Можно ли считать при уровне значимости 0,05, что недовесы овощей являются устойчивым и закономерным процессом при продаже овощей в данном городе (т.е. описываются одной и той же функцией распределения)?

Критерий Вилкоксона

Пример 9. Имеется выборка прибыли коммерческой фирмы за 14 недель до (хi) и после (yi) проведения новой экономической политики. На уровне значимости 0,05 по критерию Вилкоксона проверить гипотезу о том, что введение новой экономической политики в среднем привело к увеличению производительности.

Критерий $\chi^2$ для двух выборок

Пример 10. Используя критерий «хи-квадрат» при уровне значимости 0,05, проверить, существует ли зависимость уровня интеллектуального развития учеников от типа школы по результатам обследования 100 сельских и 100 городских школьников:
Тип школы Уровень интеллектуального развития
низкий нормальный высокий
Городская 25 50 25
Сельская 52 41 7

Нужно решить задачи на проверку статистических гипотез?

Полезные ссылки

Критерий согласия Пирсона Хи-квадрат
Критерий согласия для распределения Пуассона и нормального
Решение задач на заказ
Ссылки на учебники
Решенные контрольные

Решебник по математической статистике

Ищете решенное задание на проверку статистических гипотез? Попробуйте тут: