Как перевести число в пятеричную систему счисления

Перевести число 1321 из десятичной системы в пятеричную

Задача: перевести число 1321 из десятичной системы счисления в 5-ую.

Для того, чтобы перевести число 1321 из десятичной системы счисления в 5-ую, необходимо осуществить последовательное деление на 5, до тех пор пока остаток не будет меньше чем 5.

—	1321	5
	1320	—	264	5
1	260		—	52	5
4	50	—		10	5
2	10		2
0

Полученные остатки записываем в обратном порядке, таким образом:

Подробнее о том, как переводить числа из десятичной системы в пятеричную, смотрите здесь.

Другие переводы числа 1321:

• Перевод 1321 из 8-ой в десятичную с/с
• Перевод 1321 из 5-ой в десятичную с/с
• Перевод 1321 из 10-ой в двоичную с/с
• Перевод 1321 из 5-ой в двоичную с/с
• Перевод 1321 из 5-ой в пятеричную с/с

Смотрите также:

• Смотрите также
• Калькуляторы
• Последние переводы

Это интересно

Системы счисления в современном мире
Сейчас десятичная система счисления применяется почти у всех народов. Но есть и теперь племена, которые довольствуются при счёте пальцами одной руки. У них система счёта оказалась пятеричной. при таком счёте пальцы второй руки называют такими же словами, что и пальцы первой руки, но добавляют слово, означающее пять пальцев или руку. так что «шесть» у таких народов звучит как «одиннапять». Так сначала считали шумеры (народ Древнего Востока), древние римляне, а также древние жители Мексики.

Сейчас пятеричной системой счисления пользуются коряки, живущие в Восточной Сибири, и народы Кампучии – кхмеры.

Ссылки

Знаешь ли ты?

Дюжины и гроссы

В помощь ученику

СЛОВАРЬ

Форум

Форум

Полезные советы

Советы как работать с различными системами счисления

Мои достижения

«Различные системы счисления»

Занятие 5-6

Различные системы счисления

Ключевой вопрос занятия: «Всегда ли дважды два четыре?»

Когда людям приходилось считать на пальцах очень большие совокупности предметов, к счёту привлекали больше участников. Один считал единицы, второй – десятки, а третий – сотни, то есть, десятки десятков. Такой счёт единицами, потом десятками, затем десятками десятков, а дальше десятками сотен и т.д. лёг в основу системы счисления, принятой почти у всех народов мира.

Сначала говорили так: пять пальцев третьего человека, восемь пальцев второго и шесть пальцев первого. Но ведь это сколько времени надо произносить! Поэтому постепенно стали говорить короче. Вместо «палец второго человека» появилось слово «десять», вместо «палец третьего человека» — «сто». Вот и получилось: пятьсот восемьдесят шесть.
Такую систему счисления называют позиционной десятичной системой. В ней за основание нумерации принято число 10 и соответственно этому имеется 10 различных знаков – цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) для записи этих чисел. Значение цифры для чтения и записи числа зависит от её места, позиции в записи числа. Поэтому система счисления и называется позиционной. Так, в числах 586, 352, 285 цифра «пять» стоит на разных местах и в зависимости от этого имеет различные значения: в первом числе она означает сотни, во втором — десятки, а в третьем – единицы.

Если за основание принять другое число, то получим другую систему счисления: восьмеричную, если за основание принять число 8 (соответственно будет всего 8 цифр – 0,1,2,3,4,5,6,7); троичную, если за основание принять число 3 (соответственно будет всего 3 цифры – 0,1,2) и т.д.

В разное время употреблялись системы счисления, отличные от десятичной. Так, у вавилонян основанием системы счисления было число 60 (деление окружности на 360 градусов, 1 часа на 60 минут, 1 минуты на 60 секунд – это остатки вавилонской системы счисления). Двадцатеричная система была распространена у древних римлян, у индийских племён Северной Америки, у туземных народов Центральной и Южной Америки. У народов Африки встречались пятеричная и двадцатеричная системы.

Некоторые недесятичные системы счисления используются и теперь. Так, широкое применение в электронных машинах, компьютерах, получила двоичная система счисления. Числа, записанные в этой системе, удобно вводить в компьютер и производить над ними действия для решения различных довольно сложных задач.

Тест «Проверь себя!»

1. Система счисления – это:
А) совокупность единиц измерения
Б) совокупность правил чтения и записи чисел
В) совокупность цифр
2. Практически все народы мира пользуются системой счисления:

А) пятеричной
Б) восьмеричной
В) десятичной

3. В пятеричной системе счисления используют цифры:
А) 0,1,2,3,4,5
Б) 0,1,2,3,4,
В) 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

4. В каждой системе счисления наибольшая цифра:
А) равна основанию системы
Б) на единицу меньше основания
В) на единицу больше основания

5. Широкое применение в электронных машинах получила
А) двоичная система счисления
Б) пятеричная система счисления
В) десятичная система счисления

Трудно ли изображать числа в других системах? Нисколько. Для того, чтобы показать, в какой системе счисления записано число, справа внизу записывают основание системы счисления. Например, 10011₂; 243₅; 1357₈. Ты уже знаешь, что числа в десятичной системе записываются без указания основания: 235.
Основой перевода чисел из любой системы в десятичную является разложение их по разрядам (запись их в виде многочлена, расположенного по степеням основания системы).
Так, в десятичной системе счисления 235=200+30+5=2•10 2 +3•10 +5
Алгоритм перевода числа в десятичную систему счисления
1 способ
1. Разложить число по разрядам.
2. Найти значение выражения, которое и будет являться представлением числа в десятичной системе.
Так, чтобы перевести 235₈ в десятичную систему счисления, разложим его по разрядам: 235₈=2•8 2 +3•8 +5. Найдём значение этого выражения, оно равно 157. Значит, 235₈=157
2 способ
1. Единицы высшего разряда умножить на основание системы счисления.
2. К полученному результату прибавить единицы следующего разряда.
3. Полученную сумму умножить на основание системы.
4. К полученному произведению прибавить единицы следующего разряда и умножить на основание системы и т.д.
5. К полученному произведению прибавить единицы первого разряда.
Проверим на числе 235₈.

157

Значит, 235₈ = 157
1. Задание (3 балла) Числа 1101₂; 222₃; 123₄ вырази в десятичной системе счисления. Проверь себя, выполнив упражнение разными способами.
2. Задание (5 баллов) Проверь примеры
21420₅ = 1485
241₇ =126
120₃=1111₂
Внимание! Чем отличается последний пример от первых двух?
Сделай важный вывод: как перевести число из одной системы счисления (недесятичной) в другую, отличную от десятичной системы.
Всякое число десятичной системы можно записать в системе с любым основанием. Например, надо число 119 изобразить в пятеричной системе. Делим 119 на 5, чтобы узнать, сколько в нём единиц первого разряда:
119: 5=23, остаток 4.
Значит, число простых единиц будет 4. Далее, 23 пятёрки не могут стоять все во втором разряде, так как высшая цифра в пятерично системе – 4, и больше 4 единиц ни в одном разряде быть не должно. Делим поэтому 23 на 5:
23:5 =4, остаток 3
Это показывает, что во втором разряде («пятёрок») будет цифра 3, а в третьем («пятёрок в квадрате») цифра – четыре. Итак, 119=4•5 2 +3•5+4 =4345
Для удобства такие преобразования выполняют столбиком:

Внимание! Подумай, какие важные моменты (правила) надо знать, чтобы правильно записать число десятичной системы в системе с любым основанием.

3. Задание (3балла) Представить числа:
47 в троичной системе счисления
200 в семеричной системе счисления
163 в двенадцатеричной системе счисления
4. Задание (3балла) Записать числа в двоичной системе: 253, 478, 2372
5.Задание (4балла) Записать числа в двоичной системе: 12013; 30124; 4238
6. Задание (5баллов) Найдите основание системы счисления 43х=27, 25х=17, 123х=27

Задача на сообразительность (20 баллов)
В бумагах одного чудака – математика найдена была
его автобиография. Она начиналась следующими
удивительными строками:

«Я окончил курс университета 44 лет отроду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте – всего 11 лет – способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалования я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 рублей в месяц» и т.д.
Чем объяснить странные противоречия этой автобиографии?
Найди фразу из отрывка, которая раскрывает секрет письма.
Перепишите эти строки, восстановив истинный смысл записи.

Творческая мастерская «Придумай сам»
1. Придумай задания разного характера на тему «Системы счисления».
2. Разработай алгоритм сложения и вычитания чисел недесятичной системы счисления.
Внимание! Не забудь разместить их на форуме «Математическая копилка» для обсуждения.

Пришло время ответить на ключевой вопрос занятия:
«Всегда ли дважды два четыре?» Докажите.

Заполни Лист Мои достижения и выбери модель, которая соответствует самооценке твоего уровня знаний и умений по теме «Различные системы счисления».

На этих занятиях ты научился работать с различными системами счисления. Если у тебя возникли вопросы, задай их на форуме «Нужна консультация».

Теперь ты можешь показать родителям, друзьям, как число можно представить в другой системе счисления. Не забудь, что здесь очень важно правильно определить по основанию системы наибольшую цифру и место (позицию) каждой цифры, какой разряд она означает. Знания разрядов тебе потребуется и на следующем занятии, так как мы будем знакомиться с числами — великанами и с числами — лилипутами. Постарайся привести примеры таких чисел.

1. Перевод числа из произвольной позиционной системы счисления в десятичную

Алгоритм перевода числа из любой позиционной системы в десятичную достаточно прост и уже тебе знаком. Для того чтобы перевести число любой позиционной системы счисления в десятичную, необходимо представить число в развёрнутой форме и вычислить результат. Полученный результат будет являться десятичным числом.

Рассмотрим примеры.
1. Переведём число 101101,11 2 в десятичную систему счисления.
Запишем двоичное число в развёрнутой форме.

1 5 0 4 1 3 1 2 0 1 1 0 , 1 − 1 1 − 2 = 1 × 2 5 + 0 × 2 4 + 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 0 × 2 1 + 1 × 2 0 + 1 × 2 − 1 + 1 × 2 − 2 .

Вычислим результат.

1 × 32 + 0 × 16 + 1 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 1 + 1 × 0,5 + 1 × 0,25 = = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 = 45,75 .

Значит, 101101,11 2 \(=\) 45,75 10 .
2. Переведём число D3A8 , 9 16 в десятичную систему счисления.
Запишем развёрнутую запись числа.

D 3 3 2 A 1 8 0 , 9 − 1 = D × 16 3 + 3 × 16 2 + A × 16 1 + 8 × 16 0 + 9 × 16 − 1 = = 13 × 16 3 + 3 × 16 2 + 10 × 16 1 + 8 × 16 0 + 9 × 16 − 1 .

Вычислим результат.

13 × 4096 + 3 × 256 + 10 × 16 + 8 × 1 + 9 × 0,0625 = = 53248 + 768 + 160 + 8 + 0,5625 = 54184,5625 .

Значит, D3A8 , 9 16 \(=\) 54184,5625 10 .

3. В системе счисления с основанием \(n\) десятичное число \(17\) записывается в виде \(25\). Найди \(n\).

Запишем уравнение.
25 n = 2 × n 1 + 5 × n 0 = 17 10 .

Вычислим: любое число в нулевой степени равняется единице, поэтому 5 × n 0 будет равняться \(5\). \(17-5 = 12\), любое число в первой степени будет равняться самому числу, для того чтобы получить \(12\), нужно \(2\) умножить на \(6\).

Способы перевода чисел из одной системы счисления в другую

Странно, что в школах на уроках информатики обычно показывают ученикам самый сложный и неудобный способ перевода чисел из одной системы в другую. Это способ заключается в последовательном делении исходного числа на основание и сборе остатков от деления в обратном порядке.

Например, нужно перевести число 810₁₀ в двоичную систему:

Результат записываем в обратном порядке снизу вверх. Получается 81010 = 11001010102

Если нужно переводить в двоичную систему довольно большие числа, то лестница делений приобретает размер многоэтажного дома. И как тут собрать все единички с нулями и ни одной не пропустить?

В программу ЕГЭ по информатике входят несколько задач, связанных с переводом чисел из одной системы в другую. Как правило, это преобразование между 8- и 16-ричными системами и двоичной. Это разделы А1, В11. Но есть и задачи с другими системами счисления, как например, в разделе B7.

Для начала напомним две таблицы, которые хорошо бы знать наизусть тем, кто выбирает информатику своей дальнейшей профессией.

Таблица степеней числа 2:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6	2 7	2 8	2 9	2 10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Она легко получается умножением предыдущего числа на 2. Так, что если помните не все эти числа, остальные нетрудно получить в уме из тех, которые помните.

Таблица двоичных чисел от 0 до 15 c 16-ричным представлением:

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F

Недостающие значения тоже нетрудно вычислить, прибавляя по 1 к известным значениям.

Перевод целых чисел

Итак, начнем с перевода сразу в двоичную систему. Возьмём то же число 810₁₀. Нам нужно разложить это число на слагаемые, равные степеням двойки.

1. Ищем ближайшую к 810 степень двойки, не превосходящую его. Это 2 9 = 512.
2. Вычитаем 512 из 810, получаем 298.
3. Повторим шаги 1 и 2, пока не останется 1 или 0.
4. У нас получилось так: 810 = 512 + 256 + 32 + 8 + 2 = 2 9 + 2 8 + 2 5 + 2 3 + 2 1 .

Способ 1: Расставить 1 по тем разрядам, какие получились показатели у слагаемых. В нашем примере это 9, 8, 5, 3 и 1. В остальных местах будут стоять нули. Итак, мы получили двоичное представление числа 810₁₀ = 1100101010₂ . Единицы стоят на 9-м, 8-м, 5-м, 3-м и 1-м местах, считая справа налево с нуля.

Способ 2: Распишем слагаемые как степени двойки друг под другом, начиная с большего.

2 9 =	1000000000	(1 и девять нулей) +
2 8 =	100000000	(1 и восемь нулей) +
2 5 =	100000	(1 и пять нулей) +
2 3 =	1000	(1 и три нуля) +
2 1 =	10	(1 и один ноль)

А теперь сложим эти ступеньки вместе, как складывают веер: 1100101010 .

Вот и всё. Попутно также просто решается задача «сколько единиц в двоичной записи числа 810?».

Ответ — столько, сколько слагаемых (степеней двойки) в таком его представлении. У 810 их 5.

Теперь пример попроще.

Переведём число 63 в 5-ричную систему счисления. Ближайшая к 63 степень числа 5 — это 25 (квадрат 5). Куб (125) будет уже много. То есть 63 лежит между квадратом 5 и кубом. Тогда подберем коэффициент для 5 2 . Это 2.

Получаем 63₁₀ = 50 + 13 = 50 + 10 + 3 = 2 * 5 2 + 2 * 5 + 3 = 223₅ .

Ну и, наконец, совсем лёгкие переводы между 8- и 16-ричными системами. Так как их основанием является степень двойки, то перевод делается автоматически, просто заменой цифр на их двоичное представление. Для 8-ричной системы каждая цифра заменяется тремя двоичными разрядами, а для 16-ричной четырьмя. При этом все ведущие нули обязательны, кроме самого старшего разряда.

Переведем в двоичную систему число 547₈.

5478=	101	100	111
5	4	7

Ещё одно, например 7D6A₁₆.

7D6A16=	(0)111	1101	0110	1010
7	D	6	A

Переведем в 16-ричную систему число 7368. Сначала цифры запишем тройками, а потом поделим их на четверки с конца: 736₈ = 111 011 110 = 1 1101 1110 = 1DE₁₆ . Переведем в 8-ричную систему число C25₁₆. Сначала цифры запишем четвёрками, а потом поделим их на тройки с конца: C25₁₆ = 1100 0010 0101 = 110 000 100 101 = 6045₈ . Теперь рассмотрим перевод обратно в десятичную. Он труда не представляет, главное не ошибиться в расчётах. Раскладываем число на многочлен со степенями основания и коэффициентами при них. Потом всё умножаем и складываем. E68₁₆ = 14 * 16 2 + 6 * 16 + 8 = 3688 . 732₈ = 7 * 8 2 + 3*8 + 2 = 474 .

Перевод отрицательных чисел

Здесь нужно учесть, что число будет представлено в дополнительном коде. Для перевода числа в дополнительный код нужно знать конечный размер числа, то есть во что мы хотим его вписать — в байт, в два байта, в четыре. Старший разряд числа означает знак. Если там 0, то число положительное, если 1, то отрицательное. Слева число дополняется знаковым разрядом. Беззнаковые (unsigned) числа мы не рассматриваем, они всегда положительные, а старший разряд в них используется как информационный.

Для перевода отрицательного числа в двоичный дополнительный код нужно перевести положительное число в двоичную систему, потом поменять нули на единицы и единицы на нули. Затем прибавить к результату 1.

Итак, переведем число -79 в двоичную систему. Число займёт у нас один байт.

Переводим 79 в двоичную систему, 79 = 1001111. Дополним слева нулями до размера байта, 8 разрядов, получаем 01001111. Меняем 1 на 0 и 0 на 1. Получаем 10110000. К результату прибавляем 1, получаем ответ 10110001 . Попутно отвечаем на вопрос ЕГЭ «сколько единиц в двоичном представлении числа -79?». Ответ — 4.

Прибавление 1 к инверсии числа позволяет устранить разницу между представлениями +0 = 00000000 и -0 = 11111111. В дополнительном коде они будут записаны одинаково 00000000.

Перевод дробных чисел

Дробные числа переводятся способом, обратным делению целых чисел на основание, который мы рассмотрели в самом начале. То есть при помощи последовательного умножения на новое основание с собиранием целых частей. Полученные при умножении целые части собираются, но не участвуют в следующих операциях. Умножаются только дробные. Если исходное число больше 1, то целая и дробная части переводятся отдельно, потом склеиваются.

Переведем число 0,6752 в двоичную систему.

0	,6752
*2
1	,3504
*2
0	,7008
*2
1	,4016
*2
0	,8032
*2
1	,6064
*2
1	,2128

Процесс можно продолжать долго, пока не получим все нули в дробной части или будет достигнута требуемая точность. Остановимся пока на 6-м знаке.

Получается 0,6752 = 0,101011 .

Если число было 5,6752, то в двоичном виде оно будет 101,101011 .

• Авторские методические материалы
• Задачи по математике
• Задачи по физике
• Биология
• Подготовка к ЕГЭ
• Задачи по химии
• Астрономия
• Статьи об образовании
• История науки