Как строить график заданный параметрически

При построении кривых, заданных параметрически:

можно придерживаться следующего плана.

Найти области определения и функций и .
Найти область определения

Если оба предела конечны, найти касательную к кривой в точке
Если один из пределов конечен, а второй бесконечен, то кривая имеет горизонтальную или вертикальную асимптоту.
Если оба предела бесконечны, то найти наклонную касательную, вычислив пределы Если один из этих пределов не существует, то асимптоты нет.

График функции симметричен относительно точки , если при любом можно найти такое , что
График функции симметричен относительно прямой , если при любом можно найти такое , что В частности, график функции симметричен относительно прямой , если при любых имеет решение система

6. Построение графика функции, заданной параметрически

Пусть имеем две функции и , где — общей для и области определения. Вычисляя при и считаем, что полученное значение есть функция от полученного . Тем самым получаем функцию . Такое приведение, параметрически заданной, функции к явной не всегда возможно и может быть потеряна часть информации. Параметрически заданную функцию удобно тракторвать как уравнение движения точки на плоскости. В момент времени мы знаем координаты точки . Множество всех точек , где , называетя графиком функции или траекторией движения точки. При построении графика получаем направление движения точки.

Основной метод построения графика функции, заданной параметрически, состоит в том, чтобы разбить весь график на монотонные и непрерывные куски (ветви). Монотонную и непрерывную ветвь можно строить по точкам, используя при этом исследование функции на концах промежутка, если на концах хотя бы одна из функций или разрывна.

6.1. Порядок построения графика параметрически заданной функции

• Найти — область определения по общую для и и отметить её на числовой оси , там же отметить точки разрыва функций.

• Найти производные и и их область определения и отметить её на той же числовой оси , также отметить точки разрыва производных.

• Решить уравнения , и нули производных отметить на той же оси.

Тем самым ось будет разбита на промежутки, на каждом из которых , и вместе с ними будут монотонны и непрерывны.

Результат исследования на монотонность функций и оформляют в виде таблицы (см. ниже в решении примера). По таблице строится черновик графика, который позже уточняется нахождением асимптот, участков выпуклости определённого знака и точек перегиба.

6. 2. Асимптоты параметрического графика

• Если при некотором или и , то — горизонтальная асимптота. Пределы слева и справа вычисляются отдельно, т.к. это могут быть две разные асимптоты. Эти пределы уже бывают вычислены при заполнении таблицы.

• Если , или , то -вертикальная асимптота.

• Если или и или , то возможно, у этой ветви есть наклонная асимптота , где

Если существует, то ищем :

Если — существует, то у соответствующей ветви будет наклонная асимптота .

6. 3. Точки перегиба

Для нахождения участков выпуклости и точек перегиба нужна производная , которая находится по формуле

Исследуем знак , определяем направдение выпуклости, находим точки перегиба, если есть, и корректируем черновик графика.

6.4. Пример построения графика параметрически заданной функции

Пример 18. 21 Построить эскиз графика , .

Решение. Совокупная область определения: .

Получаем, что не существует при , при , не существует при и в нуль не обращается.

На ось наносим точки , , (см. рис. 40):

Мы получили четыре интервала. На каждом интервале функции , , а вместе с ними и будут непрерывны и монотонны. Осталось найти промежутки изменения функций и . Другими словами, откуда и куда движется точка по плоскости. Результат такого иследования оформляем в виде таблицы. Основных трок в таблице четыре, а столбцов только, сколько отмечено интервалов на оси .

График функции, заданной параметрически

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение��

Что умеет?

Строит график в параметрических координатах
Можно задать несколько графиков
Находит особые точки и точки пересечения, если графиков несколько
Находит площадь фигуры, заданную параметрически

Введите график функции

Важно a должно быть меньше b, иначе график не сможет построиться

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x ctg(x) Функция — Котангенс от x arcctg(x) Функция — Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция — Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x DiracDelta(x) Дельта-функция Дирака Heaviside(x) Функция Хевисайда Интегральные функции: Si(x) Интегральный синус от x Ci(x) Интегральный косинус от x Shi(x) Интегральный гиперболический синус от x Chi(x) Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание 15/7 — дробь
Другие функции: asec(x) Функция — арксеканс от x acsc(x) Функция — арккосеканс от x sec(x) Функция — секанс от x csc(x) Функция — косеканс от x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция — гиперболический арксеканс от x csch(x) Функция — гиперболический косеканс от x sech(x) Функция — гиперболический секанс от x acsch(x) Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные: pi Число «Пи», которое примерно равно ~3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

4.2. Построение графиков параметрически заданных функций

Пусть заданы функции x=(t), y=(t), t(, ). Если при этом x=(t) на интервале (, ) имеет обратную функцию t= -1 (x), то определена новая функция y(x)=( -1 (x)), называемая функцией, заданной параметрически.

Чтобы построить график функции, заданной параметрически, необходимо:

Определить t как дискретную переменную.
Задать переменные х и у как функции переменной t.
Щелкнуть мышью в свободном месте. Выбрать из меню «Графика» XYPlot (Декартов график).
В появившемся шаблоне напечатать х(t) в среднем поле по оси абсцисс, напечатать y(t) в среднем поле по оси ординат.
Щелкнуть мышью вне графика.

Пример 4. Построим график функции, заданной параметрически соотношениями x=(t+2) 3 +10, y=1.5 t 2 . Решение.Выведем таблицу значений параметра t и таблицы соответствующих значений х(t) и y(t): Пример 5. Построим график функции, заданной параметрически соотношениями x=аcost, y=bsint, придавая а и b различные значения. Решение. 1. Пусть а=b=2. 2. Пусть а=5, b=3. 3. Пусть а=, b=. График параметрически заданной функции можно форматировать так же, как и график явно заданной функции.

4.3. Задания для самостоятельного решения

Построить графики явно заданных функций (1) (на различных чертежах);
Построить графики параметрически заданных функций (2):

(1)	(2)
1.	а) ; б) .
2.	а) ; б) .
3.	а) ; б).
4.	а) ; б) .
5.	а) ; б).
6.	а) ; б)
7.	а) ; б).
8.	а) ; б).
9.	а) ; б).
10.	а) ; б).
11.	а); б)	,
12.	а) ; б)	,
13.	а) ; б)	,
14.	а) ; б)	,
15.	а) ; б)	,
16.	а) ; б)	,
17.	а); б)	,
18.	а) ; б)	,
19.	а) ; б)	,
20.	а) ; б)	,

3*. Построить: а) циклоиду , б) астроиду, придавая различные значенияа.

Лабораторная работа № 5 Тема: Построение графиков в полярной системе координат

Цель работы: Научиться строить графики функций в полярной системе координат.

5.1. Основные теоретические положения

Говорят, что на плоскости задана полярная система координат, если заданы: -некоторая точка О, называемая полюсом, -некоторый луч и, исходящий из точки О называемый полярной осью. Полярными координатами точки М называются два числа: >0 — полярный радиус, равный расстоянию от точки О до точки М,  — полярный угол, равный углу, на который следует повернуть ось и для того, чтобы ее направление совпало с направлением вектора (рис. 1). рис. 1. Запись М(,) означает, что точка М имеет полярные координаты  и . Зададим на плоскости декартову систему координат таким образом, чтобы начало координат совпадало с полюсом полярной системы координат, а направление положительной полуоси абсцисс совпадало с направлением полярной оси (рис. 2). рис. 2. Тогда связь между декартовыми координатами точки М(х,у) и полярными координатами этой точки дается формулами: , ; , . Уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид или. Оно может быть получено либо непосредственно, исходя из свойств кривой, либо переходом к полярным координатам в уравнении этой кривой в декартовой системе координат. Пример 1. Построим кривую — спираль Архимеда. Решение. Будем придавать  значения от 0 до с шагом. Составим таблицу значений и  (для вычисления значений  можно использовать возможности MathCAD):

j	0
r	0	1.178	2.356	3.534	4.712	5.89	7.069	8.247	9.425

j
r	10.603	11.781	12.959	14.137	15.315	16.493	17.671	18.85

Фиксируем на плоскости точку О и проводим полярную ось и . Выберем также единичный отрезок. Значению =0 соответствует =0, т.е. первая точка кривой – точка О. Далее проводим из точки О луч под углом к полярной оси и отмечаем на этом луче точку на расстоянии 1.178 от начала координат. Затем проводим луч под углом и отмечаем точку на расстоянии 2.356, и т.д. Соединив полученные точки в той последовательности, в которой их отмечали, построим кривую.

Как строить график заданный параметрически