Как решать задачи на таблицу истинности конъюнкция

1. Как решать задание ЕГЭ

7. Задание проверяет умение работать с логическими переменными, выполнять логические операции, строить таблицы истинности.

Пример задания
Николай заполнял таблицу истинности логической функции \(F\)
¬ ( y → ( x ≡ w ) ) ∧ ( z → x ) ,

но успел заполнить только фрагмент из трёх различных её строк, не указав, какому столбцу таблицы принадлежит каждая из переменных \(w\), \(x\), \(y\), \(z\).

Определи, какому столбцу таблицы принадлежит каждая из переменных \(w\), \(x\), \(y\), \(z\).

В ответе напиши буквы \(w\), \(x\), \(y\), \(z\) в том порядке, в котором идут соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому столбцу; затем буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.). Буквы в ответе пиши подряд, никаких разделителей между буквами ставить не нужно.

Как решать задание?

Данное задание можно решать несколькими способами: путём логических рассуждений; использовать электронные таблицы \(+\) логические рассуждения; с помощью программирования.

Мы рассмотрим вариант решения с помощью языка программирования Python.
Вспомнить основные логические операции можно тут.
Правила построения таблиц истинности можно вспомнить тут.
Законы алгебры логики можно вспомнить тут.
Вспомним управляющие конструкции в Python:
цикл с параметром
тело цикла
for \(y\) in \(0\), \(1\):
тело цикла
if условие then:
действия, если условие истинно
else:
действия, если условие ложно
if \(C>D\):
print (‘ истина ‘)
else:
print (‘ ложь ‘)
Запись логических операций на Python
Название операции
Запись на Python
конъюнкция
дизъюнкция
импликация
Напишем программу

Для каждой переменной сформируем вложенный цикл, где будем перебирать все возможные значения (\(0\) и \(1\)) для каждой переменной;

in range (\(2\)): перебор значений \(0\) и \(1\), можно записать по другому: in range (\(0\),\(2\))
Запуск программы

Полученный результат необходимо сравнить с таблицей из условия

Сопоставим полученную таблицу истинности с таблицей из условия. Нам необходимо сравнивать условие с результатами, как по строкам, так и по столбцам, отыскивая некоторые закономерности и невозможности. Заметим, что столбец \(y\) содержит в себе три единицы, что может быть только в третьем столбце таблицы из условия. Четвёртый столбик таблицы из условия также можем дополнить единицей, и к этому столбику подходят как \(z\), так и \(w\).

Теперь проанализируем строки. В первой строке получилось три единицы, что соответствует четвёртой строке результата программирования, дополняем нулём первую строку. В третьей строке у нас два нуля, поэтому добавляем единицу. Проверяем, чтобы сошлось по строке. Заполним второй столбец, допишем единицу. Этот столбец как раз и будет являться \(x\). Остаётся проанализировать столбцы \(1\) и \(4\).

Рассмотрим первую строку: \(x = 0\), \(y = 1\), \(z = 0\), следовательно, \(z\) — это четвёртый столбик, а \(w\) — первый.

Таблицы истинности

Решение задач становится проще, если подойти к условию формально, выделив важные компоненты и связи. А если перевести это на язык логических операций, решать их станет также просто, как элементарные математические примеры. Это значительно ускорит процесс и избавит от лишней информации. Еще знание логических функций позволяет составлять простые электрические схемы.

План урока:

Способы решения задач по логике

Многие задачи можно решить, используя инструменты алгебры логики. Чтобы получить результат, можно пойти 3 путями:

• рассуждая над условием;
• решая логические операции;
• используя таблицы истинности.

Логический подход подразумевает перевод условия из естественного языка на язык символов, схем и формул. Для такой формализации высказываний нужно выполнить ряд шагов.

Этапы решения логических задач:

• Разобраться с условием на естественном языке, выделив простые высказывания, и дать им символьные обозначения (латиница).
• Записать условие в виде формулы. Решить ее поэтапно, упрощая, учитывая приоритеты (( ), ¬, &, V).
• Просчитать формулы строчно или при помощи таблиц истинности, учитывая законы алгебры логики.
• Проверить, соответствует ли полученный результат условию задачи.

Табличный способ – этапы, особенности

Таблица истинности – табличное выражение результата логических операций для каждого отдельного набора значений переменных.

Такие таблицы позволяют абстрагироваться от маловажной информации, сосредоточиться только на связях между исходными данными, над происходящими процессами. Таким образом, человек может абстрагироваться от непонятной для него информации, решать неспецифические задачи.

Метод таблиц

Чтобы использовать таблицы истинности, необходимо формализовать условие, то есть отойти от деталей задачи, обозначая первоначальную информацию при помощи букв и цифр 0 и 1.

Существует общий алгоритм построения таблиц:

• Определить число логических значений/переменных (n) в примере.
• Установить вид, число и тип операций. Важно заранее определить очередность действий, выразить это при помощи скобок.
• Полученные данные позволяют рассчитать сколько нужно столбцов – это сумма числа переменных и операций.
• Нарисовать таблицу, заполнить шапку, записав обозначение переменных и выбранные действия.
• Определить, сколько существует наборов логических переменных (т.е. число строчек) по формуле m = 2 n + 1 (шапка).
• Заполнить столбцы, вписав наборы значений логических переменных (0 или 1).
• Записать результаты логических операций, указанных в шапке для каждой совокупности значений.
• Сделать выводы на основании полученных результатов.

Если необходимо перебрать все значения простых выражений, то для задач:

• с 2-мя переменными может быть только 4 набора логических переменных;

Если словесно описывать все эти комбинаций, на каждый из примеров понадобится десятки строк текста.

Обязательно учитывают приоритет операций:

• Указанные в скобках.
• Отрицание.
• Логическая конъюнкция чисел.
• Дизъюнкция.
• Строгая дизъюнкция.
• Импликация.
• Эквивалентность.

Обозначение логических операций:

Сравнение методов решения

Метод рассуждений

Он заключается в пошаговом анализе условий с промежуточными выводами на каждом этапе. Выполняется анализ таблицы истинности каждого логического выражения.

Пример №1.

Андрей, Владимир, Георгий и Дмитрий живут на одной улице, они соседи. Они работают по таким специальностям: гитарист, плотник, егерь и стоматолог.

• дом плотника правее егеря;
• стоматолог проживает левее егеря;
• дом гитариста с самого краю;
• стоматолог живет рядом с гитаристом;
• Владимир не гитарист, и его дом не соседствует с гитаристом;
• дома Дмитрия и егеря соседние;
• здание, в котором прописан Андрей, правее стоматолога;
• между домами Андрея и Дмитрия один дом.

Чтобы рассуждать было проще, добавим изображение зданий, присвоим им номера:

Но стоматолог живет левее егеря, а правее егеря – плотник. Получается, что дом гитариста не может быть последним, а дом стоматолога не может быть предпоследними. То есть, егерь живет в предпоследнем доме:

Между домами Андрея и Дмитрия стоит один дом, значит, дом Андрея не может быть предпоследним, получается номер – 4, что автоматом исключает проживание там Дмитрия и Владимира.

Условие задачи заняло 2 предложения, а рассуждений получилось на 2 страницы.

Такой подход лучше не использовать, если условие сложное или много данных.

Табличный метод

Более удачным подходом к решению задач с большим количеством данных (несколько множеств), считается табличный, или графический (диаграммы).

Чтобы построить таблицу истинности логических выражений, следует:

• Разбить задачу на простейшие утверждения, которые обозначить символами (большие буквы латинского алфавита).
• Записать условие задачи, как составное выражение из символов логических операций.
• Нарисовать таблицу истинности для полученных данных.
• Выбрать такой вариант, при котором полученные значения подходят под условие.
• Проверить соответствие выбранного варианта и условия задачи.

Чтобы преобразовывать условие задачи в логические выражения и операции, удобно пользоваться такой сводной таблицей истинности логических операций:

Рассмотрим тот же пример.

Определяем, что только гитарист может жить в первом доме, далее смотрим на заметки и условия и получаем таких жителей:

Метод компактнее, для некоторых задач нагляднее.

Построение таблиц истинности для различных типов задач

Несмотря на многообразие задач, многие условия повторяются, если оставить сухие формулы, не вникая в имена, места, профессии. Разобравшись с примером один раз, можно решать аналогичные задачи без труда. Рассмотрим несколько любопытных заданий, решив при помощи логически.

Пример 2.

Известно, что если первый студент летал в Англию на стажировку, то и второй тоже летал, но неправда, что если летал третий, то и второй.

Разобьём условие на 3 простые высказывания, присвоим им буквенные обозначения:

А — «Первый студент летал в Англию»;

В — «Второй студент летал в Англию»;

С — «Третий студент летал в Англию».

Запишем выясненные данные при помощи логических операций:

Пример 3.

Есть три 8-ых класса (А, В, С), которые соревнуются между собой за средний бал. Учителя в начале года сделали такие предположения:

• Если А получит максимальный бал, то максимальный бал получат Ви С.
• А и С получат или не получат максимальный бал одновременно.
• Необходимым условием получения высшего бала С класса является получение высшего бала В классом.

По завершении года оказалось, что 2 предсказания оказались верными, а одно – ошибочным.

Выясним, какие же классы добились высшего бала.

Разбиваем условие задачи на элементарные высказывания:

А – «А добьется высшего бала»;

В – «В добьется высшего бала»;

С – «С добьется высшего бала».

Запишем логические операции, описанные в примере:

Мы заполнили таблицу истинности для всех возможных значений исходных данных. В примере говорилось, что только 2 утверждения в конце года казались истинными, а 1- ложным. Такому условию отвечает 3-я строка в таблице.

Пример 4.

Во время знакомства девушка, любительница загадок, сказала, что ее имя узнать легко:

• последняя – гласная (Х1);
• или первая буква согласная (Х2)
• вторая – согласная (Х3).

Предложенные имена: Арина, Артур, Кэтрин, София.

Решим задачу, используя таблицу.

Сначала решим пошагово, выполняя операции по приоритету:

Указанному условию соответствует первое имя.

Пример 5.

Попробуем решать задачи, в которые нет четких высказываний, истинных или ложных. В них половина информации, правда, половина – ложь, при этом неизвестно, какая именно. Под такой тип задач можно подставить любое условие, но научившись решать его, можно разобраться со всеми аналогичными.

Известно, что в олимпиаде по химии участвовали 4 ученицы 8 класса: Марина, Света, Саша и Галя. Они заняли первые 4 места. Какое место заняла каждая из девочек, если есть их высказывания о победителях, но в них лишь половина информации правдива – первая или вторая половина предложения.

Маша Марина: «Саша заняла второе место, а Света – первое».

Полина Света: «Нет, это не так, Саша – победительница, а Галя, – на втором месте».

Ольга Саша: «Зачем вы всех путаете? Третье место за Мариной, а Света – на четвертом месте».

Составляем таблица для перебора вариантов. Правду обозначаем «1», ложь – «0».

Берем любое (Марины) утверждение и принимаем его первую часть за правду. Значит, Саша – 2 место, тогда Света не 1-ое (вторая половина фразы – ложь), остальных девочек на 2 место ставим «0».

Берем утверждение второй девочки. Так как Саша не может быть победительницей, то в этой фразе первая часть – ложь, а вторая должна быть истинной. Но в нем и вторая часть – неверна (второе место за Сашей, мы так приняли в начале).Уже на второй фразе получается противоречие всему.

Итог: Победительницей олимпиады стала Светлана, на втором месте – Галина, на третьем – Марина, на последнем из четырех – Александра.

Построение электронных схем, реализующих логические операции

Если рассмотреть электросхемы с точки зрения логики, особенно компьютерные, то их также можно описать при помощи «1» и «0» – электричество идет или не идет по проводам.

Попробуем нарисовать логические элементы схемы питания лампочки для нескольких простых операций.

Электросхема с конъюнктором

Рассмотрим все варианты:

• Все контакты включены, тогда источник света горит.
• Первый контакт в положении «выключено» – свет не горит.
• Второй контакт выключен – лампа не светит.
• Все контакты отключены – свет не горит.

Заключение – эта электрическая цепь реализует операцию «И».

Дизъюнктор, схема электропитания

Рассмотрим этот вид электрической цепочки:

• Все контакты включены – лампа горит.
• Первый контакт включен, второй выключен – свет горит.
• Обратная ситуация – выключен первый, включен второй – лампа светится.
• Все контакты выключены – света нет.

Заключение – такой вид электросхем соответствует логической операции «ИЛИ».

Инвертор в электросхемах

В этой схеме переключатель не ручной, а автоматический. Здесь процесс обратный – когда ток не идет, контакты замыкаются, горит свет. Если же в сеть подается электричество, пластинка размыкается вследствие электромагнитной индукции, и сеть разъединяется – света нет.

Заключение: схема соответствует логической операции «НЕ».

Умение читать и решать логические операции, строить соответствующие электросхемы, позволяет создавать иерархически более сложные конструкции, которые используются для реализации процессов в современных ПК.

Обозначение логических элементов

Удобно создавать электросхемы в ПО SmartNotebook, которое используется с интерактивной доской.

Как решать задачи на таблицу истинности конъюнкция

С помощью тождественных преобразований максимально упростить следующее логическое выражение:

`bar C vv` (`A` & `С`) `vv` (`bar(A vv C vv bar(B)`)

Максимально упростить, это значит довести выражение до такого вида, когда невозможно применить ни один из законов алгебры логики, которые сокращают длину выражения.

Для того, чтобы не запутаться, можно использовать общую стратегию упрощения логических выражений.

1) Избавиться от операций импликации.

2) Продвинуть отрицание вглубь выражения. То есть применять законы де Моргана, и закон двойного отрицания пока знак отрицания не будет стоять только над переменными (но не над операциями).

После пункта 2 наступает относительная свобода действий. Можно использовать тождества поглощения или раскрывать скобки.

В нашей задаче операция импликации отсутствует, поэтому первый пункт мы пропускаем. Переходим к пункту 2. Применяем два раза второй закон де Моргана (для дизъюнкции) и закон двойного отрицания к правой скобке и получаем следующее логическое выражение:

`bar C vv ` (`A` & `C`) `vv` (`bar A` & `bar C` & `B`)

Если теперь внимательно посмотреть на выражение, то очевидно, что к первому и третьему слагаемому можно применить первый закон поглощения, так как отрицание переменной `C` является первым слагаемым и входит в третье в качестве множителя.

Поскольку дизъюнкцию ещё называют логическим сложением, её операнды называют слагаемыми, аналогично конъюнкция – это логическое умножение, и её операнды называют множителями.

После применения первого закона поглощения получается следующее логическое выражение:

Применим второй (нестандартный для алгебры) закон дистрибутивности. Получаем:

(`bar C vv A`) & (`bar C vv C`)

Ко второй скобке применяем закон исключённого третьего, превращаем её в единицу, а затем применяем закон поглощения константы `1` и в итоге получаем выражение: `bar C vv A`, которое упростить уже нельзя.

Для лучшего понимания, рекомендуется выписать исходное логическое выражение, последовательно применить к нему все описанные действия и сравнить свой результат с приведённым в конце решения задачи.

Обратите внимание, что исходное логическое выражение зависело от трёх переменных (`A, B, C`) , в то время как упрощённое в итоге зависит от двух логических переменных (`A` и `C`). При этом выражения всё равно остаются равносильными! Это происходит потому, что в процессе упрощения применялись законы поглощения. Аналогичный результат мог бы получиться, если в процессе упрощения выражения используются законы поглощения переменных константами. Исчезновение переменной при упрощении означает, что в исходном выражении она является несущественной.

Укажите значения переменных `K`, `L`, `M`, `N`, при которых логическое выражение `(L vv M) ^^ (¬ K -> M) ^^ ¬ N ^^ ¬ M` истинно.

Будем следовать стратегии, описанной в предыдущем примере. Первым делом избавляемся от операции импликации. Получаем следующее выражение:

`(L vv M) ^^ ( K vv M) ^^ ¬ N ^^ ¬ M`

Отрицание вглубь продвигать не надо. Теперь раскроем скобки. Для упрощения условимся операцию конъюнкции никак не обозначать (по аналогии с алгеброй чисел).

`(LK vv LM vv MK vv M) ( ¬ N) ( ¬ M)`

В первой скобке можно применить тождество поглощения, и «съесть» второе и третье слагаемое, которые содержат M в качестве множителя. Получается такое выражение:

`(LK vv M) ( ¬ N) ( ¬ M)`

Выполнив оставшиеся операции умножения, получим следующий результат:

Получили одну конъюнкцию. Следовательно, существует всего один набор значений переменных, при котором получится значение «1»: `L=1`, `K=1`, `N=0`, `M=0`.

Сколько решений имеет уравнение:

`(((K¬L¬N) (¬L -> M))` \/ `((¬K` \/ `L` \/ `N) (¬L¬M))) (K`\/`N)=1`

Исходное выражение достаточно сложное, поэтому будем его упрощать. Первым делом избавимся от импликаций, получим:

`(((K¬L¬N) (L`\/ `M))` \/ `((¬K` \/ `L` \/ `N) (¬L¬M))) (K`\/`N) = 1`

Теперь раскроем скобки. Для упрощения условимся не записывать слагаемые, куда одновременно входят некоторая переменная и её отрицание (они всё равно равны нулю):

`(K¬L¬NM` \/ `¬K¬L¬M` \/ `N¬L¬M) (K`\/`N) = 1`

Продолжаем раскрытие скобок. Получаем:

`K¬L¬NM` \/ `¬K¬L¬MN` \/ `KN¬L¬M` \/ `N¬L¬M = 1`

Ко второму, третьему и четвёртому слагаемому можно применить тождество поглощения. В итоге получится:

`K¬L¬NM` \/ `N¬L¬M = 1`

На этом упрощение закончено, теперь будем анализировать. Дизъюнкция равна единице, если хотя бы одно из слагаемых равно единице. Первое слагаемое равно единице на единственном наборе переменных: (`K=1`, `L=0`, `N=0`, `M=1`). Второе слагаемое равно единице на двух наборах: (`N=1`, `L=0`, `M=0`, `K` – любое (или `0` или `1`)). Соответственно, уравнение имеет три различных решения.

В нарушении правил обмена валюты подозреваются четыре работника банка — Антипов (`A`), Борисов (`B`), Цветков (`C`) и Дмитриев (`D`). Известно, что:

1) Если `А` нарушил, то и `В` нарушил правила обмена валюты.

2) Если `B` нарушил, то и `C` нарушил или `A` не нарушал.

3) Если `D` не нарушил, то `A` нарушил, а `C` не нарушал.

4) Если `D` нарушил, то и `A` нарушил.

Кто из подозреваемых нарушил правила обмена валюты?

Чтобы решить эту задачу, необходимо провести процесс формализации условия, сформировать единое логическое выражение и провести его упрощение. Выделим из условия четыре простых высказывания: «`A` нарушил правила», «`B` нарушил правила», «`C` нарушил правила», и «`D` нарушил правила». Обозначим их соответственно буквами `A`, `B`, `C`, `D`. Тогда высказывания из условия формализуются следующим образом (конъюнкция не обозначается никак):

Нам известно, что выполняются все 4 высказывания, следовательно, нужно объединить их знаками конъюнкции и найти наборы, при которых получившееся общее высказывание будет истинным. Эти наборы и покажут нам, какие возможны ситуации (правила обмена нарушил тот, у кого переменная в итоговом наборе имеет значение «1»).

Итак, строим логическое выражение:

`(A -> B)( B -> C` \/ `¬A)( ¬D -> A¬C)( D -> A)`.

Теперь будем его упрощать. По алгоритму первым делом избавляемся от операции импликации. Получаем следующее выражение:

`(¬A` \/ `B)( ¬B` \/ `C` \/ `¬A)( D` \/ `A¬C)( ¬D` \/ `A)`.

Раскрываем скобки. Первую перемножаем со второй, а третью с четвёртой.

`(¬A¬B` \/ `¬AC` \/ `¬A` \/ `BC` \/ `B¬A) ( DA` \/ `A¬C¬D` \/ `A¬C)`.

Напомним, что слагаемые, равные нулю по причине того, что в них входит сразу и переменная и её отрицание, мы не записываем. В первой скобке теперь можно применить тождество поглощения, и «съесть» все слагаемые, имеющие в своём составе `A` с отрицанием. Во второй скобке можно также применить тождество поглощения, и «съесть» второе слагаемое. В итоге получаем:

`( ¬A` \/ `BC ) ( DA` \/ `A¬C)`.

При раскрытии оставшихся скобок три из четырёх слагаемых окажутся равными нулю, а последнее будет выглядеть следующим образом: `ABCD`. Из этого следует, что все четверо работников банка нарушили правило обмена валюты. (Только в этой ситуации предположения из условия задачи одновременно выполняются).

Правила обмена валюты нарушили все.

Известно, что обе надписи на дверях либо истинны, либо ложны одновременно. Надпись на первой двери – «Клад за другой дверью», на второй двери – «Клада за этой дверью нет, а за другой – есть». Где находится клад?

По сути нас интересуют два простых высказывания: «Клад есть за первой дверью» и «Клад есть за второй дверью». Обозначим первое из них буквой `A`, а второе буквой `B`. Тогда изначальные предположения формализуются следующим образом:

В этой задаче в отличие от предыдущей у нас две возможные ситуации относительно комбинирования начальных предположений – они либо оба истинны, либо оба ложны. Предположим, что они оба истинны, тогда при их перемножении получится тождественный ноль, что означает невозможность данной ситуации.

Предположим, что оба высказывания ложны, тогда необходимо перед перемножением на каждое из них «навесить» отрицание (рассматривать истинность противоположных высказываний) В итоге получится следующее логическое выражение:

Упрощаем его по алгоритму: отрицание продвигаем вглубь, применяя тождество Де Моргана. Получаем:

`¬B (B` \/ `¬A)`.

Раскроем скобки. Первое слагаемое сокращается, а второе выглядит следующим образом: `¬B¬A`.

Полученный результат означает, что условия задачи выполняются, только в случае, когда оба высказывания ложны, а это означает, что клада нет ни за одной дверью. Не повезло нам `J`.

Клада нет ни за одной дверью.

В заключение приведём общую схему решения текстовых логических задач, которую мы уже применяли на практике при разборе примеров.

схема решения текстовых логических задач

1) Выделить из условия задачи элементарные (простые) высказывания и обозначить их буквами.

2) Записать условие задачи на языке алгебры логики, соединив простые высказывания в сложные с помощью логических операций.

3) Составить единое логическое выражение для всех требований задачи (возможно не одно).

4) Используя законы алгебры логики попытаться упростить полученное выражение и вычислить все его значения либо построить таблицу истинности для рассматриваемого выражения (Таблицу можно строить, если в выражении не более трёх логических переменных).

5) Выбрать решение — набор значений простых высказываний, при котором построенное логическое выражение является истинным;

6) Проверить, удовлетворяет ли полученное решение условию задачи.

Среди задач алгебры логики часто встречаются задачи на определение количества решений систем логических уравнений. Рассмотрим примеры некоторых их них.

Найдите количество решений системы уравнений:

`(x2-=x1)+x2&x3+ not x2& not x3=1`

`(x3-=x1)+x3&x4+ not x3& not x4=1`

`(x9-=x1)+x9 & x10+ not x9 & not x10=1`

где `x1 … x10` — неизвестные логические величины

Упростим исходные уравнения, заметив, что, `(x2&x3+ not x2& notx3=(x2-=x3)`. Исходную систему запишем в виде:

В первом уравнении используются три переменных `x1`, `x2` и `x3`. Значения `x1` и `x2` могут быть выбраны произвольно четырьмя способами:

6. Пример решения логических задач

Напиши наименьшее целое число \(X\), для которого будет истинным следующее выражение: ( X > 16 ) И НЕ ( X > 25 ) .

Первым действием нужно преобразовать выражение. Избавимся от отрицания. Если число было НЕ больше \(25\), то, если мы уберём частичку НЕ, знак поменяется на противоположный нестрогий, получим ( X > 16 ) И ( X ≤ 25 ) .

Логическая связка И говорит нам о том, что должны выполняться оба условия, только в этом случае выражение будет истинным.

Выпишем значения, которые входят в указанный диапазон: ( X > 16 ) И ( X ≤ 25 ) .
\(17\), \(18\), \(19\), \(20\), \(21\), \(22\), \(23\), \(24\), \(25\).
По условию задания нам нужно найти наименьшее, значит, ответ: \(17\).
Задача

Три подружки встречаются раз в год в Париже для обсуждения важных новостей и посещения всеми любимой выставки.

Дина, Арина и Лиза живут в разных странах. Одна — в Румынии, другая — в Польше, третья — в Мексике. Каждая из них занимается своим любимым делом. Определи, в какой стране живёт каждая из подружек и каким делом она занимается, если известно, что:

1. Дина не живёт в Польше, а Лиза не в Румынии;
2. полячка — не фотограф;
3. в Румынии живёт флорист;
4. Лиза — не дизайнер.

Проанализируем условие задачи и для удобства решения составим таблицу. Заполнять таблицу будем \(0\) и \(1\).

Исходя из первого условия: на пересечении Дины и Польши поставим \(0\), так же как и на пересечении Лизы и Румынии.

Согласно четвёртому условию: поставим \(0\), так как Лиза — не дизайнер. Исходя из того, что в Румынии живёт флорист, а Лиза в Румынии не живёт, то она фотограф.

Согласно второму условию: полячка — не фотограф, а в Польше могут быть только Арина или Лиза, соответственно, Лиза — не дизайнер (\(4\) усл.), значит, дизайнер — Арина.

Если в Румынии живёт флорист, а Лиза в Румынии не живёт, значит, флорист — Дина, и она живёт в Румынии. Так как каждая из них освоила только одно дело, то Лиза — фотограф.

Так как Лиза не живёт в Румынии и полячка — не фотограф (а Лиза — фотограф), то Лиза живёт в Мексике. В Польше живёт Арина.