Как найти корень в кубическом уравнении

Решение кубических уравнений методом разложения на множители

Уравнение 3 степени a(x) = a₃*x 3 + a₂*x 2 + a₁*x + a₀, a₃ ≠ 0, может иметь самое большее 3 корня. Кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере один действительный корень, так как если корнем является комплексное число, то и комплексно сопряженное тоже будет его корнем.

Таким образом, кубический многочлен a(x) всегда можно разложить на два множителя, один из которых линейный, а второй квадратичный

В свою очередь многочлен второй степени a₃x 2 + bx + c может иметь 2 различных действительных корня, 1 действительный корень или 2 комплексно сопряженных корня.

Соответственно, получаем такие случаи разложения на множители a(x):

Таким образом, приравнивая каждый множитель в разложении к нулю, найдем все корни кубического уравнения в каждом случае. Рассмотрим решение кубических уравнений методом разложения на множители на примерах.

Пример 1. Решить уравнение x 3 — 3x 2 — 4x + 6 = 0.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±3, ±6. Значит, корни уравнения нужно искать среди них. Простой подстановкой убеждаемся, что корнем уравнения является число 1. Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x — 1)*(a₃x 2 + bx + c) = 0.

Чтобы найти многочлен a₃x 2 + bx + c, нужно левую часть исходного уравнения разделить на x — 1. Для деления многочлена на двучлен будем использовать схему Горнера.

Таким образом, x 3 — 3x 2 — 4x + 6 = (x — 1)(x 2 — 2x — 6). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x — 1) (x 2 — 2x — 6) = 0.

Осталось решить квадратное уравнение x 2 — 2x — 6 = 0.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее .

Пример 2. Решить уравнение -2x 3 + 3x 2 — 4x — 9 = 0.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±3, ±9. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.

Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±3, ±9,

Снова простой подстановкой убеждаемся, что -1 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x + 1.

Таким образом, -2x 3 + 3x 2 — 4x — 9 = (x + 1)(-2x 2 + 5x — 9). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x + 1) (-2x 2 + 5x — 9)=0. Решая квадратное уравнение -2x 2 + 5x — 9 = 0, получаем, что его дискриминант 3 — x 2 — 8x + 4 = 0.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±4. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.

Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±2, ±4.

Простой подстановкой убеждаемся, что 2 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x — 2.

Таким образом, 2x 3 — x 2 — 8x + 4 = (x — 2)(2x 2 + 3x — 2). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x — 2) (2x 2 + 3x — 2) = 0. Решая квадратное уравнение 2x 2 + 3x — 2 = 0, получаем,

Еще один способ разложения на множители многочлена третьей степени — метод неопределенных коэффициентов. Он довольно громоздкий, но иногда бывает очень полезным при решении разного рода задач, а не только в случае разложения на множители. Разложение на множители любого многочлена третьей степени можно представить следующим образом a(x) = (x-x₀)*(a₃x 2 + bx + c).

Раскрывая скобки, получим a(x) = a₃x 3 + x 2 (b — a₃x₀) + x*(c — bx₀) — cx₀.

Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях x и свободные члены в исходном многочлене и в многочлене a(x), получим систему из четырех уравнений и четырех неизвестных a₃,b,c и x₀. Рассмотрим применение метода неопределенных коэффициентов на примерах.

Пример 4. Решить уравнение x 3 + 2x 2 — 5x — 6 = 0.

Так как любой многочлен 3 степени можно представить в виде a₃x 3 + x 2 (b — a₃x₀) + x*(c — bx₀) — cx₀, то приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:

Выразим из первого уравнения x₀ = b — 2 и подставим в два оставшихся. Получим

Теперь выразим переменную c из первого уравнения и подставим во второе.

Раскрывая скобки во втором уравнении и решая его, находим b:

Если b=4, то c=3, x₀ = 2. Следовательно, x 3 + 2x 2 — 5x — 6 = (x — 2)(x 2 — 4x + 3)=(x — 2)(x + 1)(x + 3).

Если b = 1, то c = -6, x₀ = -1. Следовательно, x 3 + 2x 2 — 5x — 6 = (x + 1)(x 2 + x — 6)=(x + 1)(x + 3)(x — 2).

Если b = -1, то c = -2, x₀ = -3. Следовательно, x 3 + 2x 2 — 5x — 6=(x + 3)(x 2 — x — 2) = (x + 3)(x — 2)(x + 1).

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно уравнению (x + 3)(x — 2)(x + 1) = 0.

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -3, x = 2, x = -1.

Пример 5. Решить уравнение 2x 3 + x 2 — 5x + 2 = 0.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:

Выразим из первого уравнения x₀ =

и подставим в два оставшихся. Получим

Теперь из первого уравнения выразим переменную c и подставим во второе.

Умножая левую и правую части второго уравнения на 4 и раскрывая скобки, находим b:

. Следовательно, 2x 3 + x 2 — 5x + 2 = (x —
)(2x 2 + 2x — 4) = 2(x —

Если b = 3, то c = -2, x₀ = 1. Следовательно, 2x 3 + x 2 — 5x + 2 = (x — 1)(2x 2 + 3x — 2)=2(x — 1)(x —

Если b = -3, то c = 1, x₀ = -2. Следовательно, 2x 3 + x 2 — 5x + 2 = (x + 2)(2x 2 — 3x + 1) = 2(x + 2)(x —

Следовательно, исходное уравнение эквивалентно уравнению 2(x + 2)(x —

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -2, x =

Решение кубических уравнений онлайн

Если после использования данного онлайн калькулятора (Решение кубических уравнений онлайн) у Вас возникли какие-то вопросы по работе сервиса или вопросы образовательного характера, то Вы всегда можете задать их на нашем форуме.

Вы поняли, как решать? Нет?

Помощь с решением

Теоретический материал

• Формулы и свойства логарифмов
• Таблица интегралов
• Тригонометрические формулы
• Таблица степеней
• Формулы и свойства степеней
• Формулы площади
• Таблица Лапласа
• Формулы объема

Рассчитайте цену решения ваших задач

Рассчитать

Калькулятор
стоимости

Решение контрольной
300-600 рублей —> от 300 рублей *

* Точная стоимость будет определена после загрузки задания для исполнителя

© Webmath, 2008—2024 [email protected]

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

• Контрольные на заказ
• Курсовые на заказ
• Дипломы на заказ
• Рефераты на заказ

Привет.
Я Настя из ИвГУ (это город Иваново).

«Сегодня от своего лица хочу поблагодарить этот сайт за помощь мне с учебой. Здесь я пользовалась не только материалами, но и нашла преподавателей которые решали мне задачи.

Если тебе нужно что-то сделать в универе, я сама рекомендую. А также пользуйся моей ссылкой и получай 300 руб. на счёт при регистрации.»

Пунктуация и орфография автора сохранены

Решение кубических уравнений

Кубическим называют уравнение, в котором только одна переменная представлена в третьей степени. Такие выражения в любом случае имеют от одного до трех корней. Значения, которые получаются при решении таких уравнений, могут быть равными друг другу или комплексными, если их не более двух.

Решение кубических уравнений – это решение уравнений, имеющих вид: \[\boldsymbol+b y^+c y+d=0>\].

В уравнении такого типа a не равно 0, вместо b,c,d могут быть любые однозначные числа.

Данный вид уравнения имеет как минимум один корень – y₁.

Решение таких равнений может осуществляться разными способами. Оно может преобразовываться в стандартное квадратное уравнение. В таком случае предстоит выбрать один из трех вариантов решения квадратного уравнения:

• разложение на множители;
• применение формул для квадратных уравнений;
• метод дополнения.

Решение кубических уравнений может осуществляться посредством формулы Кардано, а также теоремы Виета. Теорема Виета применяется для решения последней, четвертой степени.

Решение кубических уравнений с двумя членами

Уравнение будет иметь вид: \[\boldsymbol+b=0>\]

Для решения необходимо преобразовать его: \[y^=b / a=0\]

Деление на a предполагает вместо нее любую цифру, кроме 0. После преобразования можно применить формулы для решения кубических уравнений, например, сокращенного умножения суммы кубов:

(y+ 3 √b/a)(y 2 — 3 √b/a*y+ 3 √(b/a) 2 )=0

В результате из первой скобки выводим:

во второй скобке получаем выражение – трехчлен:

Методы решения кубических уравнений возвратного вида

Алгоритм решения кубического уравнения возвратного вида отличается от предыдущего, так как оно выглядит следующим образом:

В этом уравнении переменные a и b – это коэффициенты.

Первым делом при решении таких уравнений в математике выполняется группировка:

ay3+by2+by+a=a(y 3 +1)+b(y 2 +y)=a(y+1)(y 2 -y+1)+by(y+1)=(y+1)(ay 2 +y(b-a)+a)

В полученном выражении корень равен y=-1. Исходя из этого, чтобы получить корень квадратного трехчлена ay 2 +y(b-a)+a, потребуется найти дискриминант.

Определение

Дискриминант – произведение квадратов разностей корней в различных вариаций.

Решение кубических уравнений в составе которых рациональные корни

Предположим, что y=0. В этом случае он будет корнем уравнения, которое выглядит следующим образом:

При условии, что в уравнении свободные члены, d=0. Преобразуем уравнение и получим:

Решение кубических уравнений такого вида предполагает вынесение y за скобку. В итоге получается уравнение вида:

Рассмотрим на конкретном примере, как решить кубическое уравнение с подробным решением:

Решение:

Первым делом стоит упростить уравнение.

Получим уравнение вида:

y=0, так как является корнем выражения.

Следующий шаг – поиск корней квадратного трехчлена 5y 2 +2y+4, который мы получили после упрощения. Для поиска приравняем к нулю и будем использовать дискриминант.

В ходе решения кубического уравнения с дискриминантом получим:

Так как в ответе мы получили отрицательное значение, корней у данного трехчлена нет, значит x=0.

Если в уравнениях вида ay 3 +by 2 +cy+d=0 коэффициентами являются целые числовые значения, то при решении таких уравнений и нахождении его значения мы может получить иррациональные корни.

В случае, когда a не равно 0, при умножении на a 2 каждой составляющей уравнения происходит замещение переменных, и получается: x=ay

Каждую составляющую выражения умножаем на a 2 :

a 3 *y 3 +b*a 2 *y 2 +c*a*a*y+d*a 2 =0

Учитывая, что решение кубических уравнений с подробным решением предполагает замещение переменных x=ay, то:

x 2 +b*x 2 +c*a*x+d*a 2

Полученное уравнение является кубическим. В таких уравнениях корни могут быть разными – и целыми, и рациональными. Чтобы привести такое уравнение к тождественному равенству, потребуется подставить делители в полученное равенство. В этом случае полученный x₁ будет корнем, и в то же время корнем начального уравнения:

Чтобы найти значение корней квадратного трехчлена, потребуется многочлен ay3+by2+cy+d разделить на y-y_1.

Рассмотрим решение кубических уравнений такого вида на примере.

Пример:

Решить уравнение \[x 3-3 x 2-13 x+15=0\].

Решение:

Ищем первый корень перебором чисел: \[0, \pm1, \pm2, \pm3, \pm5, \pm15\] и подстановкой в уравнение. В результате находим, что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого уравнения на двухчлен x-1 и получаем:

Теперь, решая квадратное уравнение: \[x 2-2 x-15=0\], находим оставшиеся два корня: x1=-3 и x2=5.

Такой способ решения кубических уравнений используется для преобразования и решения возвратных уравнений. Из приведенного примера видно, что корнем является -1, значит, левую часть можно разделить на x+1. После того, как эти действия выполнены, можно находить корни квадратного трехчлена. Если рациональные корни отсутствуют, необходимо находить иные методы решения и разложения многочлена на множители.

Решение кубического уравнения с помощью формулы Кардано

Есть еще один способ — формула Кардано для решения кубических уравнений.

Выведенные значение Z и P подставим в формулу Кардано.

X= 3 √-P/2+√P 2 /4+Z 3 /27+ 3 √-P/2-+√P2/4+Z3/27

В итоге подбор кубических корней должен соответствовать значению –Z/3. В этом случае корни исходного уравнения будут выглядеть следующим образом:

Применить формулу Кордано можно на примере для наглядности.

Решить уравнение \[x^+6 x^+3 x-10=0\]

Данное уравнение легко решается и без применения формулы Кардано. Легко подобрать корень \[x=1\]. Делением
\[x=1\] левой части уравнения по схеме Горнера получаем:

Следовательно, \[x^+7 x+10=0\]. Решая это квадратное уравнение, получаем

А теперь найдем корни исходного уравнения по формуле Кардано. Для данного уравнения \[a=1, b=6, c=3, d=-10\].
Замена переменной \[x=y-\frac=y-\frac=y-2\] приводит исходное уравнение к виду \[y^+p
y+q=0\], где:

Вычислим дискриминант этого уравнения:

Так \[\Delta\] каноническое уравнение имеет 3 действительных корня. Поскольку \[q=0 \Rightarrow
\varphi=\frac<\pi>=>\]

В данном случае для корней начального уравнения мы получим:

Получаем ответы: 1, -5, -2.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Нужна помощь

Общее решение кубического уравнения, если известен один из корней

За исходное уравнение возьмем следующее:

Предположим, что a,b,c являются действительными цифровыми значениями. Известный корень пометим, как y₁. В таком случае, если произвести деление начального уравнения y 3 +ay 2 +by+c=0 на y-y₁ получим квадратное уравнение. При решении такого уравнения удастся найти еще два корня – y₂ и y₃.

Чтобы доказать это, преобразуем кубический многочлен следующим образом:

При решении таких уравнений часто допускаются ошибки. Их решение – это сложное, многократное преобразование, которое требует точного знания формул и математических законов. Чтобы избежать ошибок и погрешностей, потребуется применить не только практические навыки, но и теоретические знания. Для решения кубических уравнений можно использовать специальный онлайн калькулятор. Принцип его действия основан на формуле Кардано. В том случае, если один или несколько коэффициентов такого уравнения равны нулю, или между ними присутствует определенная зависимость, решение будет более простым.

Чтобы научиться решать подобные уравнения, необходимо рассматривать примеры и тренироваться на их решении разными способами.

Формула Кардано для решения кубических уравнений

В общем случае найти корни кубического уравнения в области комплексных чисел позволяет формула Кардано для кубического уравнения в канонической форме, названная так по имени итальянского математика Д. Кардано.

Кубическое уравнение общего вида ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, a ≠ 0.

С помощью замены переменной

, приводится к каноническому трехчленному виду y 3 + py + q = 0,

где

Еще одна замена переменной y = t —

приводит трехчленное кубическое уравнение к виду

Умножив обе части уравнения на t 3 , получим

Последнее уравнение является квадратным уравнением относительно t 3 , его корни можно выписать в явном виде:

Отсюда

Следовательно, корни трехчленного кубического уравнения равны

Хотя выражения для y₁ и y₂ выглядят по-разному, но это одни и те же числа. Преобразуем их следующим образом. В выражении для y₁ домножим и числитель, и знаменатель дроби

на t₂, а в выражении для y₂ числитель и знаменатель дроби

Аналогично, для y₂

Таким образом, y₁ = y₂ = t₁ + t₂, и формула Кардано для корней канонического кубического уравнения имеет вид:

Выражение называется дискриминантом кубического уравнения y 3 + py + q = 0.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее .

Как известно, корень n-ой степени из комплексного числа z,

z = r *(cos&#966 + isin&#966)

имеет n комплексных значений

где

Следовательно, имеет три значения z₁, z₂, z₃, где

В формуле Кардано два кубических корня, и их значения нужно сочетать по следующему правилу: для каждого из трех значений первого кубического корня , берется такое значение второго кубического корня, , чтобы выполнялось соотношение z_i*z_j = —

Чтобы избежать такого сочетания значений разных кубических корней, можно использовать формулу

или, что то же самое,

Каждому найденному по формуле Кардано значению y соответствует решение исходного уравнения x = y —

В зависимости от значения дискриминанта &#916 кубическое уравнение может иметь либо 3 действительных корня (&#916 <0), либо 1 действительный корень и два комплексно сопряженных (&#916 >0), либо 2 действительных корня (&#916=0) или один действительный корень (&#916=0, p=q=0). Рассмотрим все эти случаи.

1) &#916 3 действительных корня:

Если опустить промежуточные вычисления, то окончательные формулы для трех действительных корней канонического уравнения можно представить в виде

Тогда формулы для корней исходного уравнения будут иметь вид:

2 ) &#916 > 0 => 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:

Формулы для корней исходного уравнения такие же, как в предыдущем случае

3 ) &#916=0 => 2 действительных корня:

Если &#916=0 и p=q=0, то у канонического уравнения только один корень y₁=0. Соответственно, исходное уравнение будет иметь единственный корень x = —

Если кубическое уравнение имеет целый или рациональный корень, то, конечно, проще всего найти этот корень подбором, затем делением свести исходное уравнение к квадратному. Если же рациональных корней нет, то только формула Кардано может помочь найти решение.

Практическое использование формулы Кардано для решения кубических уравнений крайне затруднительно из-за громоздких вычислений. Но в особых случаях, это сделать довольно просто, например, для первого случая (&#916 < 0) при q = 0 для нахождения трех действительных корней, или для третьего случая (&#916 = 0). Для второго случая, когда &#916 >0 , формулы для корней кубического уравнения можно выписать всегда. Таким образом, применение формулы Кардано оправдано, если уравнение не имеет рациональных корней.

Рассмотрим применение формулы Кардано для решения кубических уравнений на примерах.

Примеры.

Пример 1. Решить уравнение x 3 + 6x 2 + 3x — 10 = 0.

Данное уравнение легко решается и без применения формулы Кардано. Легко подобрать корень x = 1. Делением на x — 1 левой части уравнения по схеме Горнера получаем

Следовательно, x 2 + 7x + 10 = 0. Решая это квадратное уравнение, получаем

А теперь найдем корни исходного уравнения по формуле Кардано. Для данного уравнения a = 1, b = 6, c =3, d = -10. Замена переменной x = y —

приводит исходное уравнение к виду y 3 + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как &#916 каноническое уравнение имеет 3 действительных корня. Поскольку q = 0 => φ =

Тогда для корней исходного уравнения получаем:

Пример 2. Решить уравнение x 3 + 3x 2 + 4x + 2 = 0.

Для данного уравнения a = 1, b = 3, c =4, d = 2. Замена переменной x = y —

приводит исходное уравнение к виду y 3 + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как &#916 >0 => каноническое уравнение имеет 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:

Тогда для корней исходного уравнения получаем:

Пример 3. Решить уравнение x 3 + 12x 2 + 36x + 32 = 0.

Для данного уравнения a = 1, b = 12, c =36, d = 32. Замена переменной x = y —

приводит исходное уравнение к виду y 3 + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как &#916 = 0 => уравнение имеет 2 действительных корня:

Тогда для корней исходного уравнения получаем:

Пример 4. Решить уравнение x 3 + 9x 2 + 9x — 137 = 0.

Для данного уравнения a = 1, b = 9, c =9, d = -137. Замена переменной x = y —

приводит исходное уравнение к виду y 3 + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как &#916 >0 => каноническое уравнение имеет 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:

Тогда для корней исходного уравнения получаем:

Пример 5. Решить уравнение x 3 + 18x 2 + 90x + 50 = 0.

Для данного уравнения a = 1, b = 18, c =90, d = 50. Замена переменной x = y —

приводит исходное уравнение к виду y 3 + py + q = 0, где

Вычислим дискриминант этого уравнения

Так как &#916 > 0 => каноническое уравнение имеет 1 действительный корень и два комплексно сопряженных:

Тогда для корней исходного уравнения получаем:

Так как запомнить промежуточные формулы для нахождения корней кубического уравнения с помощью формулы Кардано довольно сложно, то можно просто повторить вывод формулы Кардано для данного уравнения. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример. Найти действительные корни уравнения x 3 + 12x 2 + 3x + 4 = 0.

Для данного уравнения a = 1, b = 12, c = 3, d = 4. Сделаем замену переменной x = y —

(y — 4) 3 + 12(y — 4) 2 + 3(y — 4) + 4 = 0

y 3 — 12y 2 + 48y — 64 + 12y 2 — 96y + 192 + 3y — 8 = 0

y 3 — 45y + 120 = 0.

Следовательно, p = -45, q = 120, &#916 = (60) 2 — (15) 3 = 225 >0. Значит, исходное уравнение имеет один действительный корень.

Теперь сделаем следующую замену переменной y = t —

Это уравнение домножим на t 3 и получим квадратное уравнение относительно t 3 :

t 6 + 120t 3 + 3375 = 0.

Тогда Теперь можно найти y по формуле y = t +

Вместо t можно подставить или , или , результат будет один и тот же:

Таким образом, действительный корень исходного уравнения равен