Как вынести за скобку

Вынесение множителя за скобки: объяснение и примеры

Вынесение множителя за скобки применяется для разложения многочлена на множители. Для этого нужно сначала каждое слагаемое многочлена заменить произведением двух множителей. Например, в мночлене у каждого слагаемого есть общий множитель . Поэтому этот мночлен можно представить так:

Теперь это выражение можно представить в виде произведения двух множителей, один из которых общий множитель , а второй — сумма , которая заключается в скобки:

Таким образом, общий множитель был вынесен за скобки и в результате этого тождественного преобразования первоначальное выражение представлено в виде другого, тождественного ему:

Вынесение общего множителя за скобки применяется, например, при тождественных преобразованиях дробей (сокращение дробей, приведение к общему знаменателю), при решении уравнений и в других задачах.

Пример 1. Вынести множитель за скобки в выражении

Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:

Общим множителем является 7a . Выносим его за скобки и получаем:

Пример 2. Вынести множитель за скобки в выражении

Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:

Общим множителем является −5a . Выносим его за скобки и получаем:

Пример 3. Вынести множитель за скобки в выражении

Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:

Общим множителем является 3ax . Выносим его за скобки и получаем:

Пример 4. Вынести множитель за скобки в выражении

Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:

Общим множителем является x . Выносим его за скобки и получаем:

Пример 5. Вынести множитель за скобки в выражении

Решение. В данном выражении каждое слагаемое можно представить в виде произведения:

Общим множителем является a . Выносим его за скобки и получаем:

Пример 6. Вынести множитель за скобки в выражении

Решение. Чтобы во вторых скобках получить a−c , умножаем y на −1 и получим

Общим множителем является x−y . Выносим его за скобки и получаем:

Способ группировки при вынесении множителя за скобки

Законы сложения позволяют группировать слагаемые в выражении любым способом. Иногда удается получить такую группировку, которая позволяет вынести за скобки общие множители.

Пример 7. Вынести множитель за скобки в выражении

Решение. Произведем группировку следующим образом:

В первой группе вынесем за скобку общий множитель , во второй — множитель 5. Получим:

Теперь многочлен x−3 как общий множитель вынесем за скобку. Итак:

Пример 8. Вынести множитель за скобки в выражении

Решение. Здесь никакая группировка не приведёт к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какое-то слагаемое в виде некоторой суммы, после чего удается сделать удачную группировку. В нашем примере целесообразно представить −5x в виде суммы −2x−3x и разнести её слагаемые по разным скобкам:

В каждой скобке можно заметить общий множитель x−2 :

Выносим его за скобки и получаем

Решить примеры самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 9. Вынести множитель за скобки в выражении

Пример 10. Вынести множитель за скобки в выражении

Пример 11. Вынести множитель за скобки в выражении

Пример 12. Вынести множитель за скобки в выражении

Вынесение общего множителя за скобки

Разложить многочлен на множители можно несколькими способами. Один из них называется вынесение общего множителя за скобки.

Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения двух и более многочленов.

Как вынести общий множитель за скобки

Запомните!

Чтобы вынести общий множитель за скобки нужно выполнить следующие действия.

1. Работаем с числовыми коэффициентами.
   Находим число, на которое делятся без остатка числовые коэффициенты каждого одночлена.
2. Работаем с буквенными множителями.
   Находим буквенные множители, которые повторяются в каждом одночлене. Выносим их за скобку в наименьшей степени.
3. Вычисляем многочлен, который остается в скобках.

Рассмотрим пример вынесения общего множителя за скобки.

Сначала определим число, на которое без остатка делятся все числовые коэффициенты одночленов. Для этого выпишем все числовые коэффициенты в таблицу ниже.

Одночлен	Числовой коэффициент	Вывод
6a 2	6	Все числовые коэффициенты делятся без остатка на число « 3 ».
−3a	−3
12ab	12

Определим буквенные множители, которые повторяются во всех одночленах.

В многочлене « 6a 2 − 3a + 12ab » — только буквенный множитель « a » присутствует во всех одночленах. Наименьшая степень буквенного множителя « a » среди всех одночленов — первая.

Теперь перемножим выбранный числовой коэффициент и буквенный множитель.
Получим « 3a » и вынесем его за скобки.

Теперь вычислим оставшийся многочлен в скобках. Для этого составим таблицу ниже, где будем к каждому одночлену задавать вопрос:
«На что нужно умножить « 3а », чтобы получить данный одночлен?»

Вопрос	Полученный одночлен
На что нужно умножить « 3а », чтобы получить « 6а 2 »?	На « 2а ».
На что нужно умножить « 3а », чтобы получить « −3a »?	На « −1 ».
На что нужно умножить « 3а », чтобы получить « 12ab »?	На « 4b ».

Запишем полученный ответ.

Важно!

Всегда проверяйте полученный результат вынесения общего множителя.

Для этого раскройте скобки в полученном результате по правилу умножения многочлена на одночлен.

Если вы вынесли общий множитель правильно, то вы должны получить исходный многочлен.

Проверим, правильно ли мы вынесли общий множитель за скобки.

При раскрытии скобок мы получили исходный многочлен, значит мы правильно вынесли общий множитель за скобки.

Важно!

Действие обратное вынесению общего множителя за скобки называется раскрытием скобок.

Примеры вынесения общего множителя за скобки

• a 4 + 2a 2 = a 2 (a 2 + 2)
  Проверка: a 2 (a 2 + 2) = a 2 · a 2 + 2a 2 = a 2 + 2 + 2a 2 = a 4 + 2a 2

Вынесение общего многочлена за скобки

Иногда есть возможность вынести многочлен за скобки целиком.

В таком случае оставшиеся одночлены просто записываются в скобки друг за другом вместе со знаком, который стоял слева от них.

a 2 (x + y) + b 3 (x + y) = (x + y)(a 2 + b 3 ) — выносим многочлен (x + y) за скобки.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».

16 апреля 2023 в 19:19

Марина Воробьева Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1

Марина Воробьева
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1

Вынесение за скобки общего множителя: правило, примеры

В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.

Понятие вынесения множителя за скобки

Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.

Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, представляющих собой суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один множитель, общий (одинаковый) для всех. Он так и называется – общим множителем. Именно его мы будем выносить за скобки. Так, если у нас есть произведения 5 · 3 и 5 · 4 , то мы можем вынести за скобки общий множитель 5 .

В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

Возьмем пример, приведенный выше. Вынесем общий множитель 5 в 5 · 3 и 5 · 4 и получим 5 ( 3 + 4 ) . Итоговое выражение – это произведение общего множителя 5 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 5 .

Данное преобразование базируется на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали до этого. В буквенном виде его можно записать как a · ( b + c ) = a · b + a · c . Поменяв правую часть с левой, мы увидим схему вынесения общего множителя за скобки.

Правило вынесения общего множителя за скобки

Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:

Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.

Возьмем простой пример вынесения. У нас есть числовое выражение 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 , которое является суммой трех слагаемых 3 · 7 , 3 · 2 и общего множителя 3 . Взяв за основу выведенное нами правило, запишем произведение как 3 · ( 7 + 2 − 5 ) . Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так: 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 = 3 · ( 7 + 2 − 5 ) .

Мы можем выносить множитель за скобки не только в числовых, но и в буквенных выражениях. Например, в 3 · x − 7 · x + 2 можно вынести переменную x и получить 3 · x − 7 · x + 2 = x · ( 3 − 7 ) + 2 , в выражении ( x 2 + y ) · x · y − ( x 2 + y ) · x 3 – общий множитель ( x 2 + y ) и получить в итоге ( x 2 + y ) · ( x · y − x 3 ) .

Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.

Так, к примеру, в выражении 6 · x + 4 · y можно вынести общий множитель 2 , не записанный в явном виде. Чтобы его найти, нам нужно преобразовать исходное выражение, представив шесть как 2 · 3 , а четыре как 2 · 2 . То есть 6 · x + 4 · y = 2 · 3 · x + 2 · 2 · y = 2 · ( 3 · x + 2 · y ) . Или в выражении x 3 + x 2 + 3 · x можно вынести за скобки общий множитель x , который обнаруживается после замены x 3 на x · x 2 . Такое преобразование возможно благодаря основным свойствам степени. В итоге мы получим выражение x · ( x 2 + x + 3 ) .

Еще один случай, на котором следует остановиться отдельно, – это вынесение за скобки минуса. Тогда мы выносим не сам знак, а минус единицу. Например, преобразуем таким образом выражение − 5 − 12 · x + 4 · x · y . Перепишем выражение как ( − 1 ) · 5 + ( − 1 ) · 12 · x − ( − 1 ) · 4 · x · y , чтобы общий множитель был виден более отчетливо. Вынесем его за скобки и получим − ( 5 + 12 · x − 4 · x · y ) . На этом примере видно, что в скобках получилась та же сумма, но с противоположными знаками.

В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.

Вынесение за скобки общего множителя: правило, примеры

В контексте изучения тождественных преобразований очень важен вопрос о вынесении общего знаменателя за скобки.

В этой статье мы объясним, что именно представляет собой это преобразование, выведем основное правило и проанализируем типичные проблемные случаи. Вспомним урок 7 класса!

Для того, чтобы успешно применить преобразование, нужно знать, к каким выражениям оно будет применяться и какой результат вы хотите получить. Поясним эти моменты. Вы можете взять общий множитель из скобок в выражениях, представляющих собой суммы, где каждый член является произведением, а в каждом произведении есть общий (один и тот же) множитель для всех. Это называется общим фактором. Вынесем его за скобки.

Важно! Если у нас есть произведения \[6 \times 4\] и \[6 \times 3\], то мы можем вынести общий множитель 6. Что это за трансформация?

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Нужна помощь

1. В ходе нее мы представим изначальное выражение в виде произведения общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех первоначальных членов, кроме общего множителя. Возьмем образец выше. Выделим общее число 6 в \[6 \times 4 \] и \[6 \times 3\] и вынесем его за скобки.
2. Получим \[6 \times(4+3)\]. Окончательный вид выражения представляет собой произведение общего множителя 6 и выражения в скобках, представляющего собой сумму исходных членов без 6.
3. Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали ранее.
4. В буквальном виде это можно записать как \[n \times(m+6)=n \times m+n \times 6\].
5. Изменив правую часть на левую, мы увидим схему вынесения общего множителя в скобках.
6. Используя все вышеизложенное, выводим основную формулу такого преобразования: \[a(b+c)=a b+a c\].

Для вынесения общего множителя за скобки необходимо исходное выражение записать в виде произведения общего множителя и скобок, в которые входит исходная сумма без общего множителя.

Примеры 1 — 5

Рассмотрим простой пример. У нас есть числовое выражение \[5 \times 6+5 \times 3-5 \times 7\], которое представляет собой сумму трех слагаемых \[5 \times 6,5 \times 3\] и \[5 \times 7\] и общего множителя 5. На основании полученного нами правила, произведение запишем в виде \[5 \times(6+3-7)\]. Это результат нашей трансформации. Вся запись решения выглядит так: \[5 \times 6+5 \times 3-5 \times 7=5 \times(6+3-7)\].

\[3 \times 9+3 \times 5+3 \times 6=3 \times(9+5+6)\]
Мы можем убрать множитель из скобок не только в числовых выражениях, но и в буквенных выражениях. Например, в \[5 x-8 x+6\] можно удалить переменную x и получить \[5 x-8 x+6=x \times(5-8)+6\] в выражении \[\left(x^-y\right) \cdot x y+\left(x^-y\right) \cdot x^\] – общий множитель \[\left(x^-y\right)\] и результат \[\left(x^-y\right) \cdot x y+\left(x^-y\right) \cdot x^=\left(x^-y\right) \cdot\left(x y+x^\right)\]. Не всегда можно сразу определить, какой множитель является общим. Иногда выражение необходимо предварительно преобразовать, заменив числа и выражения произведениями, идентичными им.

В выражении 9 ⋅ x — 6 ⋅ y можно выделить общий множитель 3, который явно неопределен. Чтобы найти его, нам нужно преобразовать исходное выражение (путем разложения множителей), которое представляет девять как \[3 \times 3\] и шесть как \[3 \times 2\]. То есть \[9 x-6 y=3 \times 3 x-3 \times 2 y=3 \times(3 x-2 y)\]. Или в выражении \[x^-x^-5\] можно поставить общий множитель в скобках. Это преобразование возможно благодаря основным свойствам степеней. Следовательно, получаем выражение \[x \cdot\left(x^-x-5\right)\].

\[5 a+30 a b-45 a c=5 a(1+6 b-9 c)\]
Другой случай, который следует рассматривать отдельно — это минус за скобками. Так мы устраняем не сам знак, а минус 1. Например, преобразуем выражение \[-8+14 x-5 x y\] таким образом. Перепишите выражение в виде \[(-1) \times 8-(-1) \times 14 x+(-1) \times 5 \times y\], чтобы общий коэффициент был виден более четко. Вынесем его за скобки и получим \[-(8-14 x+5 x y)\]. Этот пример показывает, что в скобках получается одна и та же сумма, но с противоположными знаками.

\[-4 x-5 x y+2 x=x(4+5 y-2)\]
В итоге отметим, что преображение путем выноса общего сомножителя за скобки чрезвычайно часто применяется на практике, к примеру, для исчисления значения иррациональных выражений. Также этот метод продуктивен, когда нужно показать выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные сомножители.