5. Графики в полярных координатах
Положение точки в полярных координатах на плоскости (см. рис. 28) определяется:
1) ее расстоянием от некоторой данной точки , называемой полюсом;
2) углом , который образует отрезок с заданным направлением прямой , которая называется полярной осью).
Рис. 28. Точка в полярных координатах.
При этом называют радиусом-вектором и — полярным углом. Если принять полярную ось за , а полюс — за начало координат, то имеем, очевидно (см. рис. 29):
Рис. 29. Точка в полярных координатах.
Данному положению точки соответствует одно определенное положительное значение и бесчисленное множество значений , которые отличаются слагаемым, кратным . Если совпадает с , то и — неопределенно.
Всякая функциональная зависимость вида (явная) или (неявная) имеет в полярной системе координат свой график.
В дальнейшем мы будем рассматривать не только положительные, но и отрицательные значения , причем если некоторому значению соответствует отрицательное значение , то условимся откладывать это значение в направлении, прямо противоположном тому направлению, которое определяется значением .
5.2. Графики кривых в полярных координатах
Для того, чтобы построить график в полярных координатах по точкам нужно заполнить таблицу, в первой строке которой записать значения угла из интересующего промежутка, а во второй — соответствующие значения функции . Затем, отметить и соединить эти точки плавной линией.
Построим графики функций, которые часто бывают заданы в полярных координатах.
Спирали. Пусть , . Рассмотрим три вида спиралей:
Спираль Архимеда . График функции имеет вид, изображенный на рис. 30 а), причем пунктир соответствует части кривой при . Отрицательным значениям соответствуют и отрицательные значения , и их надо откладывать в направлении, противоположном тому направлению, которое определяется значением . При этом заполнять таблицу значений и нет необходимости в силу простой функциональной завиимости между и .
Рис. 30. Графики функций , и .
Гиперболическая спираль . Особенностью этого графика (см. рис. 30 б) является то, что расстояние между любой точкой этой кривой и полярной осью не превосходит (т.е. кривая имеет асимптоту, параллельную полярной оси и проведенную на расстоянии от нее).
Предполагая и заполним таблицу для и .
Замечаем, что будет увеличиваться при уменьшении . При этом, график не имеет общих точек с прямой, параллельной полярной оси и проходящей на расстоянии от неё. Далее, видим, что не обращается в нуль ни при каких конечных значениях , а только будет уменьшаться с увеличением . Кривая будет поэтому беспредельно приближаться к полюсу , закручиваясь около него, но никогда не пройдет через в противоположность спирали Архимеда.
Отметив и соединив плавной линией точки таблицы 2, а также учитывая поведение функции при увеличении и уменьшении угла получим график функции (см. рис. 30 б).
Логарифмическая спираль . При имеем . Если , то при увеличении увеличивается и . Если , то при уменьшении радиус-вектор приближается к нулю.
Логарифмическая спираль изображена на рис. 30 в.
Розы. Розами, или кривыми Гвидо Гранди, называютя кривые, полярное уравнение которых имеет вид или . Будем рассматривать случай, когда , — целое положительное число.
Заметим, что поскольку правая часть уравнения розы не может превышать , то вся кривая находится внутри круга радиуса . Так как и являются переодическими функциями, то роза состоит из лепетков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен . При этом если нечетное число, то число лепестков равно , а если — чётное, то роза имеет лепестков.
Графики функций , , и изображены на рис. 31.
Рис. 31. Графики функций , , и .
Улитка Паскаля и кардиоида. Полярное уравнение улитки имеет вид . Если , то это уравнение дает только положительные значения (см. рис. 32 a)). Если , то будет принимать и отрицательные значения (см. рис. 32 б)). Наконец, при уравнение улитки будет и в этом случае улитка представляет собою кардиоиду (см. рис. 32 в)).
В качестве примера приведем графики функций , и на рис. 32.
Рис. 32. Графики функций , и .
Примеры решений: полярная система координат
В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые в полярной системе координат: табуляция функции, построение графика, переход к уравнению в декартовой системе координат т.п.
Основные этапы при работе с кривой, заданной в полярной системе координат, такие:
- 1. Построить полярную систему координат (изобразить полюс, полярную ось и угловые направления). Обычно строят вспомогательные лучи через $\pi/6$ или $\pi/8$ радиан, для большинства кривых этих точек (получается от $0$ до $2\pi$ помещается 12 или 16 значений) вполне достаточно.
- 2. Табулируем кривую: берем последовательно все углы $\phi$ (см. выше): $0$, $\pi/8$, $\pi/4$, $3\pi/8$. и в каждой точке вычисляем значение $\rho(\phi)$. Заносим значения в таблицу.
- 3. Берем начерченную в первом пункте полярную систему координат и наносим точки. На полярной оси отмеряем значние $\rho(0)$, на луче $\pi/8$ — $\rho(\pi/8)$ и так далее.
- 4. Соединяем все точки плавной линией. Получается искомая кривая. Для проверки правильности можно построить дополнительно график с помощью онлайн-сервисов.
- 5. Если требуется найти уравнение кривой в декартовой системе координат, подставляем подходящие формулы $\rho=\sqrt$, $x=\rho\cos \phi$, $y=\rho\sin \phi$ и преобразуем.
Более подробно — в примерах ниже. Удачного изучения!
Понравилось? Добавьте в закладки
Полярная система координат: решения онлайн
Задача 1. Построить следующие кривые в полярной системе координат: Лемниската Бернулли $\rho^2=2\cos 2\phi$ (полюс помещен в точку О).
Задача 2. Построить по точкам кривую, заданную уравнением в полярной системе координат $\rho=2\sin 2\phi$. Найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось $Ox$ с полярной осью.
Задача 3. Дана линия своим уравнением в полярной системе координат $r=8 \sin \phi$. Требуется:
1) построить линию по точкам, давая $\phi$ значения через $\pi/6$, начиная с 0 до $2\pi$.
2) Найти уравнение этой линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс с полярной осью.
Задача 4. Линия задана уравнением $r=18/(4+5\cos \phi)$ в полярной системе координат. Требуется:
Построить линию по точкам, начиная от 0 до $2\pi$ и придавая $\phi$ значения через промежуток $\pi/8$.
Найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью.
Назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.
Как построить линию в полярной системе координат?
На предыдущем уроке мы познакомились с полярными координатами, а также научились строить отдельно взятые точки и распространённые кривые в данной системе координат. Давайте подведём краткие промежуточные итоги и ответим на важный вопрос:
как построить линию в полярной системе координат?
– Сначала необходимо отметить полюс, изобразить полярную ось и указать масштаб. Кроме того, на первоначальном этапе желательно найти область определения функции, чтобы сразу же исключить из рассмотрения лишние угловые значения.
– В большинстве случаев потребуется найти десяток-другой точек, принадлежащих линии. Но иногда можно обойтись меньшим количеством, а то и вовсе отделаться схематическим чертежом.
– На следующем шаге следует прочертить угловые направления и отметить найденные точки. Как это сделать с помощью каменного топора транспортира, циркуля и линейки, я подробнейшим образом объяснил в начале статьи о полярных координатах.
– И, наконец, отложенные точки нужно аккуратно-аккуратно соединить линией (линиями).
Отработаем алгоритм построения на более основательных типовых задачах:
Построить по точкам линию, заданную в полярной системе координат уравнением , рассматривая значения угла с интервалом в рад. Найти уравнение линии в прямоугольной системе координат.
Решение: найдём область определения. Поскольку полярный радиус неотрицателен, то:
Очевидно, что условие выполнено для любого значения «фи», но, тем не менее, расскажу об удобном графическом способе решения тригонометрического неравенства: изобразите на черновике (или представьте мысленно) график функции левой части неравеснтва и прямую правой части неравенства. Непосредственно по чертежу видно, что синусоида расположена не ниже прямой , а значит, неравенство выполнено для любого значения «икс».
Итак, на угол не наложено никаких ограничений, и нам предстоит «перепахать» весь круг от 0 до , причём, по условию сделать это требуется строго с интервалом в рад. (22,5 градусов). Ложку в зубы, калькулятор в руки:
и так далее, пока не будет пройден весь оборот до «двух пи».
На практике обычно не расписывают подробные вычисления, а сразу заносят результаты в таблицу: 
Рекомендую использовать мой расчётный макет, созданный в MS Excel, который позволит буквально в пару щелчков вычислить все значения «эр», сэкономив целый вагон времени. Программу можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Особо нетерпеливым читателям предлагаю также воспользоваться handmade-продуктом и быстро начертить заготовку, ориентируясь по клеточкам: 
Углы проставлены для удобства и на чистовике, понятно, их записывать не надо.
…поймал себя на мысли, что уже добрые пару лет не выполнял чертежи от руки. Сейчас аккуратно извлеку тетрадь из сканера и спрячу её в укромном месте – лет через 20-30 продам на антикварном аукционе за 100500 золотых червонцев =) Шутки шутками, а оперативная память моего первого компьютера ZX Spectrum составляла 32 килобайта. КИЛОбайта. При этом программисты умудрялись затолкать туда аркадные игры с сотнями экранов и отличной графикой (по меркам 8-разрядных машин, конечно). Сейчас на дворе февраль 2014 года, а ведь с той поры не прошло и пары десятилетий. Боюсь, что шутливое сравнение чертёжных инструментов с каменным топором довольно скоро перестанет быть шуткой =)
После ностальгических воспоминаний отметим найденные точки на чертеже и аккуратно соединим их линией:
Напоминаю, что одинаковые значения радиуса эффективнее засекать циркулем, а слишком малые значения для углов допустимо отметить и «на глазок».
Найдём уравнение линии в декартовой системе координат. Для этого используем тоже уже знакомый приём – домножим обе части уравнения на «эр»:
Перенесём «икс» налево и возведём обе части в квадрат:
Дальнейшее возведение левой части в квадрат только усложнит запись, поэтому результат целесообразнее оставить в таком виде.
Из полученного уравнения следует, что кардиоида – это алгебраическая линия 4-го порядка, обратите внимание, насколько сложной получилась её формула по сравнению с полярной системой координат. Алгебраическим линиям 3-го, 4-го, 5-го, 6-го и высших порядков посвящены серьёзные исследования, и грибники без труда могут отыскать море информации по данной теме. Ну а я, как обычно, предлагаю вкусную и здоровую пищу на каждый день:
Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:
1) построить линию по точкам, придавая значения через интервал , начиная с и заканчивая ;
2) найти уравнение линии в декартовой системе координат;
3) определить вид кривой.
Типовая формулировка, предвещающая час (а то и больше) усердного пыхтения, а нередко и чертыханья студента. Но только не того, кто прочитал эту и предыдущую статью о полярных координатах! Примерный образец оформления задачи в конце урока.
Рассмотрим ещё ряд важных особенностей решения:
Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:
1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;
2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат;
3) назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет.
Решение: найдём область определения:
Заметьте, что ноль в знаменателе нас тоже не устраивает, поэтому неравенство становится строгим. Перенесём косинус направо и развернём избушку к лесу задом:
Неравенство несложно решить аналитически, но для лучшего понимания я опять воспользуюсь графическим методом. Изобразим на черновике или представим мысленно графики функций , при этом нас будет интересовать только один период – от до . Условию удовлетворяет та часть синусоиды, которая расположена ПОД прямой :
То есть, в нашем распоряжении оказываются почти все значения угла за исключением макушки, расположенной на симметричном отрезке .
Таким образом, . Арккосинус составляет примерно 37 градусов, поэтому из рассмотрения исключаем углы и . Заполним расчётную таблицу с прочерками в соответствующих ячейках:
Чайники могут, в принципе, вообще не загружаться областью определения и ставить тире по факту: получилось отрицательное значение «эр» – поставили.
Выполним чертёж:
На него не вместились точки, соответствующие значениям , но не уменьшать же из-за этого масштаб. Сойдёт и так.
2) Найдём уравнение линии в прямоугольной системе координат. По всем признаком должна получиться гипербола.
Избавляемся от дроби:
Используем формулы перехода :
Дальнейшие действия хорошо знакомы из практикума Задачи с линиями 2-го порядка:
3) Данная линия представляется собой гиперболу с центром в точке , действительной полуосью , мнимой полуосью . Впрочем, формально по условию можно было и не упоминать о деталях.
Вы спросите: «но в полярной же системе координат прорисовалась только одна ветвь гиперболы, поэтому не ошибочно ли говорить о целой гиперболе?». Не ошибочно!
И вот по какой причине: если подразумевать обобщённую полярную систему координат с отрицательными значениями «эр», то при значениях угла из интервала прорисуется левая ветвь! Желающие могут провести самостоятельную проверку и анализ этого факта. Я не сторонник и даже противник обобщенных полярных координат, но в данном случае всё получается ловко и чертовски удобно – можно как бы и не оговариваться о том, что на чертеже только одна ветвь гиперболы.
Вычислим координаты фокусов и эксцентриситет. По условию уравнение не нужно приводить к каноническому виду, а значит, требуемые вещи проще найти напрямую – с учётом параллельного переноса гиперболы, к тому же, она не повёрнута.
Вычислим значение и поправкой на параллельный перенос в точку найдём фокусы:
Педантичные люди могут ещё записать развёрнутый ответ.
Заключительное задание для самостоятельного решения:
Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:
1) построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток ;
2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат и определить её вид.
3) Привести уравнение к каноническому виду и выполнить чертёж в прямоугольной системе координат. Найти фокусы кривой и её эксцентриситет.
Внимательно проанализируйте, что и в каком порядке требуется выполнить по условию. Сам много раз налетал – краем глаза показалось одно, а нужно совсем другое. В образце решения приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду выполнено академическим способом.
На основе полярных координат плоскости базируются цилиндрические и сферические координаты пространства. В частности, угловые величины широко используются в навигации (не зря упоминались лётчики и самолёты) и астрономии. Действительно, представьте земной шар (а если строго, эллипсоид), эллиптические орбиты планет и вы поймёте, что распиаренная прямоугольная система координат как-то здесь совсем не в тему. Ну а мне пора плотно прикрыть дверь аналитической геометрии и вернуться к матанализу, где полярные координаты тоже эксплуатируются на полную катушку.
До скорых встреч!
Решения и ответы:
Пример 7. Решение: 1) Найдём область определения функции:
– любое.
Заполним таблицу требуемыми значениями угла и соответствующими значениями полярного радиуса: 
Выполним чертёж: 
2) Найдём уравнение линии в декартовой системе координат:
Используем формулы :
– уравнение линии в прямоугольной системе координат.
3) Данная кривая представляет собой эллипс с центром симметрии в точке , большой полуосью и малой полуосью .
Пример 9. Решение: 1) Найдём область определения функции:
Заполним расчётную таблицу: 
Выполним чертёж: 
2) Найдём уравнение линии в декартовой системе координат:
Используем формулы :
– искомое уравнение. Это парабола.
3) Приведём уравнение линии к каноническому виду с помощью перехода к новой системе координат , которая получается путём поворота исходной системы координат на рад. вокруг точки и её параллельным переносом центром в точку (координаты – в старой системе координат).
В результате получено каноническое уравнение параболы , фокальный параметр которой равен . Выполним чертёж:
Найдём фокус: .
Эксцентриситет любой параболы равен единице.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,
cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5
Полярные координаты
Построим двумерный график в полярных координатах:
(Наберите ESC th ESC для ввода символа θ .)
PolarPlot[Sin[2 \[Theta]] + Cos[2 \[Theta]], ]
Используем полярную систему координат вместо декартовой:
PolarPlot[Sin[2 \[Theta]] + Cos[2 \[Theta]], , PolarAxes -> Automatic, PolarTicks -> ]
Переведем декартовы координаты в полярные:
ToPolarCoordinates[]