Как перевести комплексное число в показательную форму

Калькулятор преобразования формы комплексного числа

Данный калькулятор позволяет осуществлять перевод комлпексных чисел из одной формы в другую c пошаговым описанием хода решения. Например, можно перевести комплексное число из алгебраической формы записи в тригонометрическую или из экспоненциальной в алгебраическую и т.д. Для правильного использования калькулятора, Вам необходимо выбрать форму записи Вашего комплексного числа и ввести данные. В калькулятор можно вводить не только числа и дроби, но и символы (параметры). Ниже представлены необходимые теоретические сведения для правильного использования калькулятора.

где — произвольные действительные числа, называется алгебраической формой записи комплексного числа.

называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Наконец, воспользовавшись формулой Эйлера:

можно получить экпоненциальную (показательную) форму записи комплексного числа:

Комплексные числа

Комплексное число в показательной форме: z=|z|e iφ
Угол φ называют аргументом числа z и обозначают Arg(z) .

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Комплексное число должно быть представлено в алгебраическое форме z=x+i*y .

Правила ввода функции

Все математические операции выражаются через общепринятые символы + , — , * , / .
Примеры
≡ 1/2+sqrt(3)*I

Если 0 ≤ arg z ≤ 2π:

Действия с комплексными числами

z₂=-1-i
Сложение комплексных чисел (отдельно складываются действительные и мнимые части)

Вычитание комплексных чисел (отдельно вычитаются действительные и мнимые части)

Умножение комплексных чисел

Деление комплексных чисел (подвести под общий знаменатель)

При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁), z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂)
Тогда
z₁ · z₂ = r₁r₂[cos(φ₁ + φ₂)+ i sin(φ₁ + φ₂)]

Что делать, если задано сложное комплексное выражение. Его можно упростить с помощью следующего правила. Например:

Необходимо умножить дробь на сопряженное выражение (2-i) .

Возведение в степень. Формула Муавра

При возведении комплексного числа в натуральную степень, модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример . Найти
Решение.

= 2 18 (cos6π + i*sin6π)=2 18 =262144

Что делать, если комплексное число необходимо возвести в большую степень. Например: (1+i) 988 . Достаточно это комплексное число сначала возвести во вторую степень:
(1+i) 2 = 2i , а затем 2i 988/2 = 2i 494 = 2 494 i 494 = 2 494 (-1) 247 = -2 494

• abs — модуль комплексного числа |z| . Пример: abs(-5.5-6.6i)
• arg — аргумент комплексного числа φ . Пример: arg(5.5+6.6i)

Пример №1 . Записать комплексное число в тригонометрической форме.
Базовая формула:
z = |z|[cos(φ+2πk) + i sin(φ+2πk)]

где φ =arctg((-4)/(-1));
Алгоритм

1. находим угол φ .
2. находим модуль |z| = sqrt(x 2 + y 2 ) .

1. Находим тригонометрическую форму комплексного числа z=-1-4i
Действительная часть комплексного числа: x = Re(z) = -1
Мнимая часть: y = Im(z) = -4
Модуль комплексного числа равен:

Поскольку x

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z=-1-4i

2. Находим показательную форму комплексного числа
Пример №2 . Как из тригонометрической формы комплексного числа преобразовать в алгебраическую форму.

Модуль комплексного числа равен 2 ,т.е. или x 2 +y 2 =4
Аргумент комплексного числа
или
Получаем систему из двух уравнений:
x 2 +y 2 =4

Выразим и подставим в первое выражение:


Поскольку , то получаем:
или или .

Таким образом, из выражения можно сразу было получить:
,

Как преобразовать алгебраическую форму записи величины в показательную

В общем случае алгебраическая форма записи комплексной величины выглядит следующим образом:

Но это математическая запись. В электротехнике принято мнимую единицу обозначать не «i», а буквой «j» (это сделано для того, чтобы не было путаницы с токами, которые чаще всего и обозначаются латинской буквой «i»). Тогда в электротехнике вы скорее всего увидите запись:

При этом мнимая единица может стоять как первым множителем, так и вторым. То есть это же число можно записать:

Часть комплексного числа без мнимой единицы называется «Действительной» и чаще всего обозначается Re (от английского Real — действительный, настоящий)

Часть комплексного числа с мнимой единицой называется также «Мнимой» и обозначается Im (от английского Imaginary — воображаемый)

Что касается показательной формы записи, то в она обычно выглядит так:

Здесь буква «А» — модуль величины, буква «е» ничего не значит и просто указывает, что это показательная форма записи (так как остальные данные записаны в показатель степени). Буква «j» в степени тоже просто обозначает комплексное число, а вот «φ» — это угол в градусах или радианах.

Чтобы легко понять как эти формы записи связаны друг с другом, достаточно рассмотреть изображение вектора на комплексной плоскости:

Очевидно, что такой вектор можно задать, указав его длину и угол поворота — это и есть показательная форма записи комплексных числел. То, что в нашем примере обозначено буквой «А» — длина вектора, а число в показателе степени — угол поворота

Еще один способ точного описания вектора — указать его проекции на координатные оси. Например «отложим пять единиц по горизонтальной оси и три по вертикальной». Именно так и работает алгебраическая форма записи:

Тогда становится понятно — чтобы перевести из алгебраической формы записи в показательную, нужно определить длину вектора и угол его поворота. Длина вектора определятся, исходя из того, то сам вектор это гипотенуза прямоугольного треугольника, а его проекции — катеты. Тогда по закону Пифагора:

Поскольку тангенс угла есть отношение противолежащего катета к прилежащему:

Можно легко определить нужный угол:

Разберем на практическом примере. Пусть в алгебраической форме задано значение тока:

Необходимо записать это число в показательной форме. Здесь действительная чатсть Re(I)=7, мнимая часть Im(I)=16. Сначала определим длину вектора (говоря по-другому — модуль тока):

Теперь рассчитаем угол поворота вектора:

Все весьма несложно. Однако, существует один хитрый момент, который нужно иметь ввиду. Предположим, нам задан задан ток в алгебраической форме I=-3-j3. Построим его на комплексной плоскости для наглядности:

С определением длины вектора трудностей не возникнет. Однако, как только мы попытаемся определить угол, то увидим:

Очевидно, угол здесь не может быть 45 градусов. Он должен быть или минус 135 или плюс 225 градусов. Так происходит из-за того, что в формуле арктангенса оказались два отрицательных числа. Грубо говоря, знак «минус» сокращается и арктангенс показывает тот же угол, что и при положительных значениях. Чтобы избежать такой ошибки, досточно ввести правило на случай отрицательной действительной части:

Итак, простой алгоритм перевода алгебраической формы записи комплексного числа в показательную:

Показательная форма записи комплексного числа

Экспоненциальной формой комплексного числа является выражение \(\ z=r e^ \) , где \(\ r=|z|=\sqrt+y^> \) — модуль комплексного числа, \(\ e^ \) является расширением показателя степени до случая, когда показатель является комплексным числом.

Пусть комплексное число \(\ z \) записано в тригонометрической форме \(\ z=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \) , где \(\ r=|z|=\sqrt+y^> \) — модуль комплексного числа. Используя формулу Эйлера, получим

Формула Эйлера связывает тригонометрические и экспоненциальные функции:

где e — показатель, \(\ \mathbf \) — мнимая единица.

Для комплексного числа \(\ z=x+i y= \) :

В случае, когда \(\ z \) — действительное число \(\ (\operatorname z=0) \)

Если \(\ z \) — чисто мнимое число \(\ (\operatorname z=0) \) , то справа

Используя формулу Эйлера, получаем:

Узнайте больше о формуле Эйлера в отдельной статье: формула Эйлера для комплексных чисел.

Примеры решения проблем