Превращение десятичной дроби в обыкновенную, превращение обыкновенной дроби в десятичную
Десятичную дробь представляют в виде обыкновенной дроби, записав ее со знаменателем. При этом число целых искомой обыкновенной дроби равно числу целых десятичной дроби. В числителе искомой дроби пишем цифры, стоящие после запятой (десятичные знаки), а в знаменателе записываем 1 с количеством нулей, которое равно количеству десятичных знаков. Далее, если возможно, производят сокращение дроби.
Если десятичные знаки начинаются нулями, их в числитель обыкновенной дроби писать не нужно.
Для превращения обыкновенной дроби в десятичную имеется несколько способов.
Первый способ
Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на знаменатель.
Задание. Представить обыкновенную дробь $\frac$ в виде десятичной.
Решение. Поделим числитель на знаменатель в столбик:
Таким образом, $\frac=3:25=0,12$
Ответ. $\frac=0,12$
Второй способ
Чтобы превратить обыкновенную дробь в десятичную, нужно помножить числитель и знаменатель указанной дроби на такое число, чтобы в знаменателе получилось число, кратное десяти (если это возможно).
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Задание. Представить дробь $\frac$ в виде десятичной.
Решение. Знаменатель заданной дроби равен 25, если это число умножить на 4, то получим в результате 100. То есть
Ответ. $\frac=\frac=0,12$
Следует иметь в виду, что не всякая обыкновенная дробь представима в виде конечной десятичной. В виде конечной десятичной дроби можно представить только те обыкновенные дроби, которые после сокращения в знаменателе содержат только простые множители 2 и 5.
Если знаменатель несократимой необратимой дроби содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5, то она не может быть представлена конечной десятичной дробью.
3.12. Перевод обыкновенной дроби в десятичную и обратно
Допустим, мы хотим преобразовать обыкновенную дробь $11/4$ в десятичную. Проще всего сделать это так:
Это удалось нам потому, что в данном случае разложение знаменателя на простые множители состоит только из двоек. Мы умножили числитель и знаменатель дополнительно на две пятерки, воспользовались тем, что $10 = 2 \cdot 5$, и получили десятичную дробь. Подобная процедура возможна, очевидно, только в том случае, когда разложение знаменателя на простые множители не содержит ничего, кроме двоек и пятерок. Если в разложении знаменателя присутствует любое другое простое число, на которое эту дробь нельзя сократить, то такую дробь преобразовать к десятичной не получится. Тем не менее мы попробуем это сделать, но только другим способом, с которым мы сначала познакомимся на примере всё той же дроби $11/4$. Давайте поделим $11$ на $4$ «уголком»:
В строке ответа мы получили целую часть ( $2$ ), и еще у нас есть остаток ( $3$ ). Раньше мы деление на этом заканчивали, но теперь мы знаем, что к делимому ( $11$ ) можно приписать справа запятую и несколько нулей, что мы теперь мысленно и сделаем. Следом после запятой идет разряд десятых. Ноль, который стоит у делимого в этом разряде, припишем к полученному остатку ( $3$ ):
Теперь деление можно продолжать как ни в чем не бывало. Надо только не забыть поставить в строке ответа запятую после целой части:
Теперь приписываем к остатку ( $2$ ) ноль, который стоит у делимого в разряде сотых и доводим деление до конца:
В результате получаем, как и раньше,
Попробуем теперь точно таким же способом вычислить, чему равна дробь $27/11$:
Мы получили в строке ответа число $245$, а в строке остатка — число $5$ . Но такой остаток нам уже раньше встречался. Поэтому мы уже сразу можем сказать, что, если мы продолжим наше деление «уголком», то следующей цифрой в строке ответа будет $4$, затем пойдет цифра $5$, потом — снова $4$ и снова $5$, и так далее, до бесконечности:
$27 / 11 = 2,454545454545. $
Мы получили так называемую периодическую десятичную дробь с периодом $45$. Для таких дробей применяется более компактная запись, в которой период выписывается только один раз, но при этом он заключается в круглые скобки:
Вообще говоря, если делить «уголком» одно натуральное число на другое, записывая ответ в виде десятичной дроби, то возможно только два исхода: (1) либо рано или поздно в строке остатка мы получим ноль, (2) либо там окажется такой остаток, который уже нам раньше встречался (набор возможных остатков ограничен, поскольку все они заведомо меньше делителя). В первом случае результатом деления является конечная десятичная дробь, во втором случае — периодическая.
Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную
Пусть нам дана положительная периодическая десятичная дробь с нулевой целой частью, например:
Как преобразовать эту дробь обратно в обыкновенную?
Умножим ее на число $10^k$, где $k$ — это число цифр, стоящих между запятой и открывающей круглой скобкой, обозначающей начало периода. В данном случае $k = 1$ и $10^k = 10$:
$a \cdot 10^k = 2(45)$.
Полученный результат умножим на $10^n$, где $n$ — длина периода, то есть число цифр, заключенных между круглыми скобками. В данном случае $n = 2$ и $10^n = 100$:
$a \cdot 10^k \cdot 10^n = 245(45)$.
Теперь вычислим разность
$a \cdot 10^k \cdot 10^n — a \cdot 10^k = 245(45) — 2(45)$.
Поскольку дробные части у уменьшаемого и вычитаемого одинаковы, то у разности дробная часть равна нулю, и мы приходим к простому уравнению относительно $a$:
$a \cdot 10^k \cdot (10^n — 1) = 245 — 2$.
После того как мы подставим сюда значения $10^k$ и $10^n$, это уравнение решается так:
$a \cdot 10 \cdot (100 — 1) = 245 — 2$.
$a \cdot 10 \cdot 99 = 245 — 2$.
Мы специально пока не доводим вычисления до конца, чтобы было наглядно видно, как можно сразу выписать этот результат, опуская промежуточные рассуждения. Уменьшаемое в числителе ( $245$ ) — это дробная часть числа
если в ее записи стереть скобки. Вычитаемое в числителе ( $2$ ) — это непериодическая часть числа $a$, располагающаяся между запятой и открывающей скобкой. Первый сомножитель в знаменателе ( $10$ ) — это единица, к которой приписано столько нулей, сколько цифр в непериодической части ($k$). Второй сомножитель в знаменателе ( $99$ ) — это столько девяток, сколько цифр содержит период ($n$).
Теперь наши вычисления можно довести до конца:
Если непериодическая часть отсутствует, то ситуация заметно упрощается. Пусть, например,
Воспользовавшись плодами наших рассуждений, мы получаем
Здесь в числителе стоит период, а в знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде. После сокращения на $9$ полученная дробь оказывается равной
Любопытный результат получается, если перевести в обыкновенную дробь число
Действительно, согласно только что установленным правилам,
Подобным же образом
1. Несократимая обыкновенная дробь может быть преобразована в конечную десятичную только в том случае, если разложение ее знаменателя на простые сомножители не содержит ничего, кроме двоек и пятерок. Для этого числитель и знаменатель надо умножить на такое число, которое обеспечит равное количество двоек и пятерок в разложении знаменателя, например:
2. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную с помощью деления «уголком», если не останавливать процедуру деления на разряде единиц, а продолжать ее для последующих разрядов — десятых, сотых и так далее. При этом возможно два исхода: (1) либо рано или поздно в строке остатка мы получим ноль, (2) либо там окажется такой остаток, который уже раньше встречался. В первом случае результатом деления является конечная десятичная дробь, во втором случае — периодическая, например:
3. Преобразование периодической десятичной дроби с нулевой целой частью в обыкновенную осуществляется по образцу:
где $245$ — это дробная часть числа $02(45)$ с удаленными скобками; $2$ — непериодическая часть; $10$ — единица, к которой приписано столько нулей, сколько цифр в непериодической части; $99$ — столько девяток, сколько цифр содержит период. Если непериодическая часть отсутствует, то преобразование упрощается:
Здесь в числителе стоит период, а в знаменателе — столько девяток, сколько цифр в периоде. В частности, $9999999. = 0(9) = 9/9 = 1>$.
Как перевести обыкновенную дробь в десятичную: 2 способа
Например, у нас есть обычная дробь 3/20. Этот знаменатель легко раскладывается на нужные нам множители – 2 и 5.
Вот у нас и получилась десятичная дробь! Только не забудьте: после запятой должно стоять 2 знака, так как в цифре 100, к которой мы приводили знаменатель.
Способ 2
Теперь рассмотрим второй способ, как преобразовать обыкновенную дробь в десятичную.
В качестве примера берем обычную дробь 78/200, где знаменатель легко раскладывается на 2 и 5 – основное условие преобразование дроби в десятичную.
А в качестве бонуса – табличка самых популярных в математике знаменателей:
↪ Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, необходимо разделить числитель на знаменатель. Результат деления будет десятичной записью данной дроби.
3. Представление обыкновенной дроби и смешанного числа в виде десятичной дроби
умножают числитель и знаменатель на такое число, чтобы в знаменателе получалась разрядная единица (\(10\), \(100\), \(1000\) и т. д.).
Умножив числитель и знаменатель первой дроби на \(2\), второй — на \(25\), третьей — на \(8\), получим:
1 2 5 = 2 10 = 0,2 ; 3 25 4 = 75 100 = 0,75 ; 2 8 125 = 16 1000 = 0,0 16 .
Обрати внимание!
Не все обыкновенные дроби можно перевести в десятичную дробь.
Например, дроби 1 3 ; 2 7 ; 5 19 нельзя умножить так, чтобы в знаменателе получилось
число \(10\), \(100\), \(1000\) и т. д. Такие дроби будут рассматриваться в старших классах.
В случае смешанного числа умножают дробную часть, а целая часть не меняется:
73 1 5 2 = 73 5 10 = 73,5 ; 102 17 2 50 = 102 34 100 = 102,34 ; 9 11 4 250 = 9 44 1000 = 9,044 .